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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
8-b
Examen

Las partículas α\alpha son núcleos de helio, de masa cuatro veces la del protón y carga dos veces la del protón.

b) Determine la diferencia de potencial con la que debe acelerarse una partícula α\alpha para que su longitud de onda asociada sea de 10−13 m10^{-13} \text{ m}, teniendo en cuenta las relaciones entre las masas y las cargas indicadas en el apartado a).

Datos: mp=1,7⋅10−27 kg;h=6,63⋅10−34 J s;e=1,6⋅10−19 Cm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

De BroglieAceleración de partículas
b) Determine la diferencia de potencial con la que debe acelerarse una partícula α\alpha para que su longitud de onda asociada sea de 10−13 m10^{-13} \text{ m}, teniendo en cuenta las relaciones entre las masas y las cargas indicadas en el apartado a).

Primero, calculamos la masa y la carga de la partícula α\alpha a partir de los datos proporcionados:

mα=4⋅mp=4⋅(1,7⋅10−27 kg)=6,8⋅10−27 kgm_\alpha = 4 \cdot m_p = 4 \cdot (1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) = 6,8 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
qα=2⋅e=2⋅(1,6⋅10−19 C)=3,2⋅10−19 Cq_\alpha = 2 \cdot e = 2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}

La longitud de onda de De Broglie se relaciona con el momento lineal (pp) de la partícula mediante la fórmula:

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}

Despejamos el momento lineal pp:

p=hλ=6,63⋅10−34 J s10−13 m=6,63⋅10−21 kg m/sp = \frac{h}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{10^{-13} \text{ m}} = 6,63 \cdot 10^{-21} \text{ kg m/s}

La energía cinética (EkE_k) de la partícula se puede expresar en términos de su momento lineal y masa:

Ek=p22mαE_k = \frac{p^2}{2m_\alpha}

Sustituimos los valores para calcular la energía cinética:

Ek=(6,63⋅10−21 kg m/s)22⋅(6,8⋅10−27 kg)=4,39569⋅10−41 (kg m/s)21,36⋅10−26 kg≈3,232⋅10−15 JE_k = \frac{(6,63 \cdot 10^{-21} \text{ kg m/s})^2}{2 \cdot (6,8 \cdot 10^{-27} \text{ kg})} = \frac{4,39569 \cdot 10^{-41} \text{ (kg m/s)}^2}{1,36 \cdot 10^{-26} \text{ kg}} \approx 3,232 \cdot 10^{-15} \text{ J}

Cuando una partícula cargada se acelera a través de una diferencia de potencial (ΔV\Delta V), la energía cinética que adquiere es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico, que viene dado por Ek=qαΔVE_k = q_\alpha \Delta V. Despejamos la diferencia de potencial:

ΔV=Ekqα\Delta V = \frac{E_k}{q_\alpha}

Sustituimos los valores para encontrar la diferencia de potencial:

ΔV=3,232⋅10−15 J3,2⋅10−19 C≈1,01⋅104 V\Delta V = \frac{3,232 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}} \approx 1,01 \cdot 10^4 \text{ V}