T5: Probabilidad · Propiedades de la probabilidad — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Propiedades de la probabilidad

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE C

De los sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.7, \quad P(B) = 0.6, \quad P(A \cup B) = 0.8

Calcule la probabilidad de que:

a) Ocurra

A

B

.b) No ocurra ni

A

B

.c) Ocurra

A

pero no

B

.d) Ocurra

A

sabiendo que no ha ocurrido

B

SucesosUnión e intersecciónProbabilidad condicionada

Se conocen las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.7

P(B) = 0.6

P(A \cup B) = 0.8

a) Ocurra

A

B

Para calcular la probabilidad de que ocurra $A$ y $B$ , necesitamos encontrar $P(A \cap B)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Despejamos $P(A \cap B)$ y sustituimos los valores conocidos:

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)

P(A \cap B) = 0.7 + 0.6 - 0.8

P(A \cap B) = 1.3 - 0.8

P(A \cap B) = 0.5

b) No ocurra ni

A

B

Esto significa calcular $P(A^c \cap B^c)$ . Por las leyes de De Morgan, sabemos que $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$ . Por lo tanto, $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c)$ .La probabilidad del complemento de un suceso es $1$ menos la probabilidad del suceso:

P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)

P((A \cup B)^c) = 1 - 0.8

P((A \cup B)^c) = 0.2

c) Ocurra

A

pero no

B

Esto se representa como $P(A \cap B^c)$ . Esta probabilidad se puede calcular como la probabilidad de $A$ menos la probabilidad de la intersección de $A$ y $B$ :

P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)

Sustituimos los valores conocidos, utilizando el resultado del apartado a):

P(A \cap B^c) = 0.7 - 0.5

P(A \cap B^c) = 0.2

d) Ocurra

A

sabiendo que no ha ocurrido

B

Esto se representa como una probabilidad condicionada $P(A | B^c)$ . La fórmula para la probabilidad condicionada es:

P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}

Primero, calculamos $P(B^c)$ :

P(B^c) = 1 - P(B)

P(B^c) = 1 - 0.6

P(B^c) = 0.4

Ahora, utilizamos $P(A \cap B^c)$ del apartado c) y $P(B^c)$ para calcular $P(A | B^c)$ :

P(A | B^c) = \frac{0.2}{0.4}

P(A | B^c) = 0.5