Para estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de la función $f(x) = \text{arc tg}(x + \pi)$, calculamos primero su primera y segunda derivada.

Los posibles puntos de inflexión se encuentran donde la segunda derivada se anula:

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por este punto. El denominador $(1 + (x + \pi)^2)^2$ es siempre positivo para cualquier valor de $x$, por lo que el signo depende únicamente del numerador $-2(x + \pi)$:En el intervalo $(-\infty, -\pi)$, si tomamos un valor como $x = -2\pi$, entonces $f''(-2\pi) = \frac{-2(-\pi)}{(1 + \pi^2)^2} > 0$. Por tanto, la función es convexa en $(-\infty, -\pi)$.En el intervalo $(-\pi, +\infty)$, si tomamos un valor como $x = 0$, entonces $f''(0) = \frac{-2\pi}{(1 + \pi^2)^2} < 0$. Por tanto, la función es cóncava en $(-\pi, +\infty)$.Como hay un cambio de curvatura en $x = -\pi$ y la función es continua en dicho punto, existe un punto de inflexión. Calculamos el valor de la función en la abscisa obtenida:

El punto de inflexión se alcanza en la abscisa $x = -\pi$ y su valor es $f(-\pi) = 0$.

Al evaluar el límite directamente, obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$:

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador de forma independiente:

Sustituyendo el valor $x = -\pi$ en la expresión resultante: