Tierra Satélite (100 kg) Fg v
b) (i) Radio de la órbita Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:
G M T m r 2 = m v 2 r \frac{GM_T m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} r 2 G M T m = r m v 2 Simplificando m m m y despejando r r r :
r = G M T v 2 r = \frac{GM_T}{v^2} r = v 2 G M T Sustituyendo valores:
r = 6,67 ⋅ 10 − 11 × 5,98 ⋅ 10 24 ( 7,5 ⋅ 10 3 ) 2 = 3,99 ⋅ 10 14 5,625 ⋅ 10 7 r = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}98 \cdot 10^{24}}{(7{,}5 \cdot 10^{3})^2} = \frac{3{,}99 \cdot 10^{14}}{5{,}625 \cdot 10^{7}} r = ( 7 , 5 ⋅ 1 0 3 ) 2 6 , 67 ⋅ 1 0 − 11 × 5 , 98 ⋅ 1 0 24 = 5 , 625 ⋅ 1 0 7 3 , 99 ⋅ 1 0 14 r ≈ 7,09 ⋅ 10 6 m = 7090 km r \approx 7{,}09 \cdot 10^{6} \text{ m} = 7090 \text{ km} r ≈ 7 , 09 ⋅ 1 0 6 m = 7090 km Como comprobación, la altitud sobre la superficie sería: h = r − R T = 7090 − 6370 = 720 km h = r - R_T = 7090 - 6370 = 720 \text{ km} h = r − R T = 7090 − 6370 = 720 km , valor razonable para un satélite en órbita baja.
b) (ii) Energía potencial gravitatoria La energía potencial gravitatoria del satélite a distancia r r r del centro de la Tierra es:
E p = − G M T m r E_p = -\frac{GM_T m}{r} E p = − r G M T m Sustituyendo valores:
E p = − 6,67 ⋅ 10 − 11 × 5,98 ⋅ 10 24 × 100 7,09 ⋅ 10 6 E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}98 \cdot 10^{24} \times 100}{7{,}09 \cdot 10^{6}} E p = − 7 , 09 ⋅ 1 0 6 6 , 67 ⋅ 1 0 − 11 × 5 , 98 ⋅ 1 0 24 × 100 E p = − 3,99 ⋅ 10 16 7,09 ⋅ 10 6 ≈ − 5,63 ⋅ 10 9 J E_p = -\frac{3{,}99 \cdot 10^{16}}{7{,}09 \cdot 10^{6}} \approx -5{,}63 \cdot 10^{9} \text{ J} E p = − 7 , 09 ⋅ 1 0 6 3 , 99 ⋅ 1 0 16 ≈ − 5 , 63 ⋅ 1 0 9 J b) (iii) Energía mecánica total La energía cinética del satélite es:
E c = 1 2 m v 2 = 1 2 × 100 × ( 7,5 ⋅ 10 3 ) 2 = 1 2 × 100 × 5,625 ⋅ 10 7 = 2,81 ⋅ 10 9 J E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (7{,}5 \cdot 10^3)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 5{,}625 \cdot 10^7 = 2{,}81 \cdot 10^9 \text{ J} E c = 2 1 m v 2 = 2 1 × 100 × ( 7 , 5 ⋅ 1 0 3 ) 2 = 2 1 × 100 × 5 , 625 ⋅ 1 0 7 = 2 , 81 ⋅ 1 0 9 J La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la energía potencial. Para una órbita circular se cumple la relación E c = − E p 2 E_c = -\frac{E_p}{2} E c = − 2 E p , por lo que:
E m e c = E c + E p = 2,81 ⋅ 10 9 + ( − 5,63 ⋅ 10 9 ) E_{mec} = E_c + E_p = 2{,}81 \cdot 10^9 + (-5{,}63 \cdot 10^9) E m ec = E c + E p = 2 , 81 ⋅ 1 0 9 + ( − 5 , 63 ⋅ 1 0 9 ) E m e c ≈ − 2,81 ⋅ 10 9 J E_{mec} \approx -2{,}81 \cdot 10^9 \text{ J} E m ec ≈ − 2 , 81 ⋅ 1 0 9 J El valor negativo de la energía mecánica es consistente con que el satélite se encuentra en una órbita ligada (estado ligado al campo gravitatorio terrestre).
