T2: Interacción electromagnética

Campo magnético

Problema

2016 · Ordinaria · Reserva

3B-b

Un haz de electrones con energía cinética de $10^{4} \text{ eV}$ , se mueve en un campo magnético perpendicular a su velocidad, describiendo una trayectoria circular de $25 \text{ cm}$ de radio.

b) Para ese mismo campo magnético explique, cualitativamente, cómo variarían la velocidad, la trayectoria de las partículas y su radio si, en lugar de electrones, se tratara de un haz de iones de

\ce{Ca^2+}.

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} ; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

EspectrometríaRadio de curvatura

b) Análisis cualitativo para iones de

\ce{Ca^{2+}}

en el mismo campo magnético

Comparamos las propiedades del ion $\ce{Ca^{2+}}$ con las del electrón para analizar cómo cambian las magnitudes físicas relevantes:

Comparación de propiedades

Carga: El electrón tiene carga

|q| = e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}

C. El ion

\ce{Ca^{2+}}

tiene carga

|q| = 2e = 3{,}2 \cdot 10^{-19}

C, es decir, el doble de carga (en valor absoluto).Masa: El electrón tiene masa

m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}

kg. El ion

\ce{Ca^{2+}}

tiene masa

m_{\text{Ca}} \approx 40 \, u = 40 \times 1{,}66 \cdot 10^{-27}

\approx 6{,}64 \cdot 10^{-26}

kg, que es aproximadamente

7{,}3 \times 10^4

veces mayor que la del electrón.

Velocidad

Si ambas partículas tienen la misma energía cinética $E_k = 10^4$ eV, la velocidad se obtiene de:

E_k = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}

Como la masa del $\ce{Ca^{2+}}$ es muchísimo mayor que la del electrón (para la misma energía cinética), la velocidad del ion $\ce{Ca^{2+}}$ sería mucho menor que la del electrón:

v_{\text{Ca}} = \sqrt{\frac{2E_k}{m_{\text{Ca}}}} \ll v_e = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}

Trayectoria

El tipo de trayectoria no cambia: sigue siendo circular, ya que la fuerza magnética de Lorentz actúa siempre perpendicularmente a la velocidad, independientemente de la carga o la masa de la partícula. Lo que cambia es el radio de dicha circunferencia.

Radio de la trayectoria circular

El radio de la trayectoria circular viene dado por el equilibrio entre la fuerza magnética y la fuerza centrípeta:

qvB = \frac{mv^2}{r} \implies r = \frac{mv}{qB}

Expresando $v$ en función de la energía cinética $E_k$ :

r = \frac{mv}{qB} = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}

Para el mismo campo $B$ y la misma energía cinética $E_k$ , el radio es proporcional a $\dfrac{\sqrt{m}}{q}$ . Comparando ambas partículas:

\frac{r_{\text{Ca}}}{r_e} = \frac{\sqrt{m_{\text{Ca}}}}{q_{\text{Ca}}} \cdot \frac{q_e}{\sqrt{m_e}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{m_{\text{Ca}}}{m_e}}

Sustituyendo los valores:

\frac{r_{\text{Ca}}}{r_e} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{6{,}64 \cdot 10^{-26}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = \frac{1}{2}\sqrt{7{,}3 \times 10^4} \approx \frac{1}{2} \times 270 \approx 135

El radio de la trayectoria del ion $\ce{Ca^{2+}}$ sería aproximadamente 135 veces mayor que el de los electrones. Aunque la mayor carga tiende a reducir el radio (factor $1/2$ ), el enorme incremento de masa lo compensa con creces, resultando en un radio de trayectoria mucho mayor.

Resumen cualitativo

Velocidad: el ion

\ce{Ca^{2+}}

tendría una velocidad mucho menor que el electrón para la misma energía cinética, debido a su masa mucho mayor.Trayectoria: sigue siendo circular, pues la fuerza de Lorentz siempre es perpendicular a la velocidad. Sin embargo, la trayectoria se curvaría en sentido contrario al del electrón, ya que la carga es positiva (el electrón tiene carga negativa).Radio: el radio sería mucho mayor que el de los electrones (

r_{\text{Ca}} \approx 135 \, r_e

), ya que el gran aumento de masa supera al efecto de la mayor carga.