T1: Interacción gravitatoria · Conservación de la energía con rozamiento

Conservación de la energía con rozamiento

Problema

2019 · Ordinaria · Suplente

1B-b

b) Por un plano inclinado que forma un ángulo de

30^\circ

con la horizontal se lanza hacia arriba un bloque de

10 \text{ kg}

con una velocidad inicial de

5 \text{ m s}^{-1}

. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el bloque es

0,1

. A partir del balance de energías, determine: i) La altura máxima que alcanzará en su ascenso. ii) La velocidad al regresar al punto de partida.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoRozamiento

Datos:

m = 10 \text{ kg}

\alpha = 30^\circ

v_0 = 5 \text{ m s}^{-1}

\mu = 0,1

g = 9,8 \text{ m s}^{-2}

b) i) La altura máxima que alcanzará en su ascenso.

Para el ascenso del bloque, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica, considerando el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, que es una fuerza no conservativa.El diagrama de fuerzas durante el ascenso es:

Calculamos las fuerzas relevantes:

\text{Fuerza normal: } N = mg \cos\alpha

N = 10 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m s}^{-2} \cdot \cos 30^\circ = 98 \text{ N} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 84,87 \text{ N}

\text{Fuerza de rozamiento: } F_{fr} = \mu N = \mu mg \cos\alpha

F_{fr} = 0,1 \cdot 84,87 \text{ N} = 8,487 \text{ N}

La ecuación del balance energético es:

E_{inicial} + W_{nc} = E_{final}

Donde $E_{inicial}$ es la energía cinética inicial (en el punto de partida, $h=0$ ), $E_{final}$ es la energía potencial gravitatoria en la altura máxima ( $v=0$ ), y $W_{nc}$ es el trabajo de la fuerza de rozamiento (negativo).

\frac{1}{2}mv_0^2 - F_{fr} \cdot d = mgh_{max}

La distancia recorrida a lo largo del plano inclinado ( $d$ ) y la altura máxima ( $h_{max}$ ) están relacionadas por $h_{max} = d \sin\alpha$ , de donde $d = \frac{h_{max}}{\sin\alpha}$ .

\frac{1}{2}mv_0^2 - (\mu mg \cos\alpha) \frac{h_{max}}{\sin\alpha} = mgh_{max}

Dividiendo por la masa $m$ y reorganizando para $h_{max}$ :

\frac{1}{2}v_0^2 = gh_{max} + \mu g \cot\alpha h_{max}

\frac{1}{2}v_0^2 = h_{max} g (1 + \mu \cot\alpha)

h_{max} = \frac{v_0^2}{2g(1 + \mu \cot\alpha)}

Sustituyendo los valores:

h_{max} = \frac{(5 \text{ m s}^{-1})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ m s}^{-2} (1 + 0,1 \cdot \cot 30^\circ)}

h_{max} = \frac{25 \text{ m}^2 \text{s}^{-2}}{19,6 \text{ m s}^{-2} (1 + 0,1 \cdot \sqrt{3})}

h_{max} = \frac{25 \text{ m}}{19,6 (1 + 0,1 \cdot 1,732)} = \frac{25 \text{ m}}{19,6 (1 + 0,1732)}

h_{max} = \frac{25 \text{ m}}{19,6 \cdot 1,1732} = \frac{25 \text{ m}}{22,99472} \approx 1,087 \text{ m}

b) ii) La velocidad al regresar al punto de partida.

Ahora el bloque desciende desde la altura máxima ( $h_{max}$ ) hasta el punto de partida ( $h=0$ ). La fuerza de rozamiento sigue oponiéndose al movimiento, por lo que su trabajo también es negativo.El diagrama de fuerzas durante el descenso es:

La ecuación del balance energético para el descenso es:

E'_{inicial} + W'_{nc} = E'_{final}

Donde $E'_{inicial}$ es la energía potencial gravitatoria en la altura máxima ( $v=0$ ), $E'_{final}$ es la energía cinética al llegar al punto de partida ( $h=0$ ), y $W'_{nc}$ es el trabajo de la fuerza de rozamiento (negativo).

mgh_{max} - F_{fr} \cdot d = \frac{1}{2}mv_f^2

La distancia recorrida a lo largo del plano inclinado ( $d$ ) es la misma que en el ascenso, $d = \frac{h_{max}}{\sin\alpha}$ .

mgh_{max} - (\mu mg \cos\alpha) \frac{h_{max}}{\sin\alpha} = \frac{1}{2}mv_f^2

Dividiendo por la masa $m$ y reorganizando para $v_f^2$ :

gh_{max} - \mu g \cot\alpha h_{max} = \frac{1}{2}v_f^2

h_{max} g (1 - \mu \cot\alpha) = \frac{1}{2}v_f^2

v_f^2 = 2gh_{max} (1 - \mu \cot\alpha)

v_f = \sqrt{2gh_{max} (1 - \mu \cot\alpha)}

Sustituyendo los valores:

v_f = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ m s}^{-2} \cdot 1,087 \text{ m} (1 - 0,1 \cdot \cot 30^\circ)}

v_f = \sqrt{19,6 \text{ m s}^{-2} \cdot 1,087 \text{ m} (1 - 0,1 \cdot \sqrt{3})}

v_f = \sqrt{21,3052 \text{ m}^2 \text{s}^{-2} (1 - 0,1732)}

v_f = \sqrt{21,3052 \cdot 0,8268 \text{ m}^2 \text{s}^{-2}}

v_f = \sqrt{17,608 \text{ m}^2 \text{s}^{-2}} \approx 4,196 \text{ m s}^{-1}