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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
1
Examen

Dada la matriz

A=(1200−12−201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

resuelva la ecuación

A2⋅X+A4=AA^2 \cdot X + A^4 = A
MatricesEcuación matricialÁlgebra lineal

Dada la ecuación matricial A2⋅X+A4=AA^2 \cdot X + A^4 = A, nuestro objetivo es despejar la matriz XX. Primero, reorganizamos la ecuación para aislar XX:

A2⋅X=A−A4A^2 \cdot X = A - A^4

Para poder despejar XX, necesitamos determinar si la matriz AA es invertible. Calculamos su determinante:

det⁡(A)=det⁡(1200−12−201)\det(A) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Usando la regla de Sarrus o el desarrollo por cofactores:

det⁡(A)=1⋅((−1)(1)−(2)(0))−2⋅((0)(1)−(2)(−2))+0⋅((0)(0)−(−1)(−2))det⁡(A)=1⋅(−1−0)−2⋅(0−(−4))+0det⁡(A)=−1−2⋅4det⁡(A)=−1−8=−9\det(A) = 1 \cdot ((-1)(1) - (2)(0)) - 2 \cdot ((0)(1) - (2)(-2)) + 0 \cdot ((0)(0) - (-1)(-2)) \\ \det(A) = 1 \cdot (-1 - 0) - 2 \cdot (0 - (-4)) + 0 \\ \det(A) = -1 - 2 \cdot 4 \\ \det(A) = -1 - 8 = -9

Dado que det⁡(A)=−9≠0\det(A) = -9 \neq 0, la matriz AA es invertible. Por lo tanto, también lo es A2A^2, y podemos multiplicar por (A2)−1=(A−1)2(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2 por la izquierda:

X=(A−1)2⋅(A−A4)X=(A−1)2⋅A−(A−1)2⋅A4X=A−1⋅A−1⋅A−A−1⋅A−1⋅A4X=A−1⋅I−A−1⋅A3X=A−1−A2X = (A^{-1})^2 \cdot (A - A^4) \\ X = (A^{-1})^2 \cdot A - (A^{-1})^2 \cdot A^4 \\ X = A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A - A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A^4 \\ X = A^{-1} \cdot I - A^{-1} \cdot A^3 \\ X = A^{-1} - A^2

Ahora, calculamos A2A^2 y A−1A^{-1}.

Cálculo de $A^2$
A2=A⋅A=(1200−12−201)⋅(1200−12−201)A2=(1(1)+2(0)+0(−2)1(2)+2(−1)+0(0)1(0)+2(2)+0(1)0(1)+(−1)(0)+2(−2)0(2)+(−1)(−1)+2(0)0(0)+(−1)(2)+2(1)(−2)(1)+0(0)+1(−2)(−2)(2)+0(−1)+1(0)(−2)(0)+0(2)+1(1))A2=(104−410−4−41)A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^2 = \begin{pmatrix} 1(1)+2(0)+0(-2) & 1(2)+2(-1)+0(0) & 1(0)+2(2)+0(1) \\ 0(1)+(-1)(0)+2(-2) & 0(2)+(-1)(-1)+2(0) & 0(0)+(-1)(2)+2(1) \\ (-2)(1)+0(0)+1(-2) & (-2)(2)+0(-1)+1(0) & (-2)(0)+0(2)+1(1) \end{pmatrix} \\ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}
Cálculo de $A^{-1}$

La inversa de una matriz se calcula como A−1=1det⁡(A)⋅(adj(A))TA^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^T. Ya tenemos det⁡(A)=−9\det(A) = -9. Calculamos la matriz de cofactores CijC_{ij}.

C11=(−1)1+1det⁡(−1201)=−1C12=(−1)1+2det⁡(02−21)=−4C13=(−1)1+3det⁡(0−1−20)=−2C21=(−1)2+1det⁡(2001)=−2C22=(−1)2+2det⁡(10−21)=1C23=(−1)2+3det⁡(12−20)=−4C31=(−1)3+1det⁡(20−12)=4C32=(−1)3+2det⁡(1002)=−2C33=(−1)3+3det⁡(120−1)=−1C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1 \\ C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -4 \\ C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{21} = (-1)^{2+1} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \\ C_{23} = (-1)^{2+3} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = -4 \\ C_{31} = (-1)^{3+1} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 4 \\ C_{32} = (-1)^{3+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{33} = (-1)^{3+3} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1

La matriz de cofactores es:

C=(−1−4−2−21−44−2−1)C = \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

adj(A)=CT=(−1−24−41−2−2−4−1)\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos A−1A^{-1}:

A−1=−19(−1−24−41−2−2−4−1)=(1/92/9−4/94/9−1/92/92/94/91/9)A^{-1} = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix}
Cálculo de $X = A^{-1} - A^2$
X=(1/92/9−4/94/9−1/92/92/94/91/9)−(104−410−4−41)X=(1/9−12/9−0−4/9−44/9−(−4)−1/9−12/9−02/9−(−4)4/9−(−4)1/9−1)X=(1/9−9/92/9−4/9−36/94/9+36/9−1/9−9/92/92/9+36/94/9+36/91/9−9/9)X=(−8/92/9−40/940/9−10/92/938/940/9−8/9)X = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 1/9 - 1 & 2/9 - 0 & -4/9 - 4 \\ 4/9 - (-4) & -1/9 - 1 & 2/9 - 0 \\ 2/9 - (-4) & 4/9 - (-4) & 1/9 - 1 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 1/9 - 9/9 & 2/9 & -4/9 - 36/9 \\ 4/9 + 36/9 & -1/9 - 9/9 & 2/9 \\ 2/9 + 36/9 & 4/9 + 36/9 & 1/9 - 9/9 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} -8/9 & 2/9 & -40/9 \\ 40/9 & -10/9 & 2/9 \\ 38/9 & 40/9 & -8/9 \end{pmatrix}