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T1: Matrices y determinantes
Álgebra matricial y aplicaciones
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
1
Examen
BLOQUE A

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble y triple.La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros.El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

a) Exprese, mediante una matriz AA, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz DD la demanda de los tres institutos.b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?c) ¿Existe la inversa de la matriz DD? ¿Y de la matriz AA? Justifique las respuestas.
MatricesSistemas de ecuacionesEconomía
Resolución de ejercicio de matrices: Presupuestos de viaje
a) Exprese, mediante una matriz AA, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz DD la demanda de los tres institutos.

Definimos la matriz de precios AA, donde las filas representan las agencias (Agencia 1 y Agencia 2) y las columnas los tipos de habitación (Individual, Doble y Triple):

A=(65851047883106)A = \begin{pmatrix} 65 & 85 & 104 \\ 78 & 83 & 106 \end{pmatrix}

Definimos la matriz de demanda DD, donde las filas representan los tres institutos (Inst. 1, Inst. 2 e Inst. 3) y las columnas los tipos de habitación demandados:

D=(315221251167)D = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{pmatrix}
b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?

Para calcular el coste total por instituto y agencia, multiplicamos la matriz de demanda DD por la transpuesta de la matriz de precios AA. La matriz resultante C=D⋅ATC = D \cdot A^T tendrá dimensiones 3×23 \times 2, indicando el coste para cada instituto en cada agencia.

AT=(65788583104106)A^T = \begin{pmatrix} 65 & 78 \\ 85 & 83 \\ 104 & 106 \end{pmatrix}
C=(315221251167)⋅(65788583104106)=(167816911670168221532148)C = \begin{pmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 65 & 78 \\ 85 & 83 \\ 104 & 106 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1678 & 1691 \\ 1670 & 1682 \\ 2153 & 2148 \end{pmatrix}

Comparando los costes por fila para cada instituto:

- Instituto 1: Agencia 1 (16781678 €) vs Agencia 2 (16911691 €). Le interesa la Agencia 1.- Instituto 2: Agencia 1 (16701670 €) vs Agencia 2 (16821682 €). Le interesa la Agencia 1.- Instituto 3: Agencia 1 (21532153 €) vs Agencia 2 (21482148 €). Le interesa la Agencia 2.c) ¿Existe la inversa de la matriz DD? ¿Y de la matriz AA? Justifique las respuestas.

Una matriz tiene inversa si es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Para la matriz DD (3×33 \times 3):

det⁡(D)=∣315221251167∣=3(84−80)−15(14−5)+2(32−12)=12−135+40=−83\det(D) = \begin{vmatrix} 3 & 15 & 2 \\ 2 & 12 & 5 \\ 1 & 16 & 7 \end{vmatrix} = 3(84 - 80) - 15(14 - 5) + 2(32 - 12) = 12 - 135 + 40 = -83

Puesto que det⁡(D)=−83≠0\det(D) = -83 \neq 0, la matriz DD es regular y por lo tanto existe su inversa D−1D^{-1}.En cuanto a la matriz AA, sus dimensiones son 2×32 \times 3. Al no ser una matriz cuadrada, no puede tener matriz inversa por definición.