T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza y tamaño de muestra — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Intervalos de confianza y tamaño de muestra

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

El tiempo de espera para ser atendido en un servicio hospitalario es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica de $2$ meses. Tomada una muestra al azar de $9$ pacientes que han utilizado ese servicio, se han registrado los siguientes tiempos de espera en meses:

8.5 \quad 3.7 \quad 4.3 \quad 3.6 \quad 5.6 \quad 4.8 \quad 1.0 \quad 1.4 \quad 6.0

a) Determine un intervalo de confianza al

95\%

para el tiempo de espera medio poblacional.b) Con un nivel de confianza del

97\%

, ¿qué tamaño muestral mínimo se ha de tomar para que el error máximo cometido en la estimación del tiempo de espera medio poblacional no exceda de un mes?

Distribución NormalIntervalo de confianzaError de estimación

Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de espera en meses. Sabemos que $X$ sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 2$ meses. Disponemos de una muestra de tamaño $n = 9$ .

a) Determine un intervalo de confianza al

95\%

para el tiempo de espera medio poblacional.

Primero, calculamos la media muestral $\bar{x}$ a partir de los datos proporcionados:

\bar{x} = \frac{8.5 + 3.7 + 4.3 + 3.6 + 5.6 + 4.8 + 1.0 + 1.4 + 6.0}{9} = \frac{38.9}{9} \approx 4.322

Para un nivel de confianza del $95\%$ , calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ :

1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ :

z_{\alpha/2} = 1.96

El intervalo de confianza se define como:

I = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Sustituimos los valores:

I = \left( 4.322 - 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{9}}, 4.322 + 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{9}} \right) = (4.322 - 1.307, 4.322 + 1.307)

I = (3.015, 5.629)

b) Con un nivel de confianza del

97\%

, ¿qué tamaño muestral mínimo se ha de tomar para que el error máximo cometido en la estimación del tiempo de espera medio poblacional no exceda de un mes?

Para un nivel de confianza del $97\%$ , el nuevo valor crítico es:

1 - \alpha = 0.97 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015 \implies P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985

Buscando en las tablas, obtenemos:

z_{\alpha/2} = 2.17

La fórmula del error máximo admisible $E$ es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 1

Despejamos el tamaño muestral $n$ :

2.17 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \leq 1 \implies \sqrt{n} \geq 4.34 \implies n \geq (4.34)^2

n \geq 18.8356

Como el tamaño muestral debe ser un número entero, tomamos el valor entero inmediatamente superior para garantizar que el error no exceda de un mes:

n = 19