T1: Matrices y determinantes · Rango y operaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Rango y operaciones matriciales

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ . Determina $a, b$ y $c$ , sabiendo que $AB = C$ y la matriz $A$ tiene rango 2.

MatricesRangoSistemas de ecuaciones

Determinaremos los valores de $a, b$ y $c$ utilizando las dos condiciones dadas: $AB = C$ y el rango de la matriz $A$ es 2.

Paso 1: Usar la condición $AB = C$

Primero, calculamos el producto matricial $AB$ :

AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + a \cdot 1 + b \cdot 1 \\ c \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 + a + b \\ c + 5 \end{pmatrix}

Ahora, igualamos este resultado a la matriz $C$ :

\begin{pmatrix} 3 \\ 1 + a + b \\ c + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

De esta igualdad de matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 3 = 3 \\ 1 + a + b = 2 \\ c + 5 = 1 \end{cases}

De la tercera ecuación, obtenemos $c$ :

c + 5 = 1 \implies c = 1 - 5 \implies c = -4

De la segunda ecuación, obtenemos una relación entre $a$ y $b$ :

1 + a + b = 2 \implies a + b = 1

Paso 2: Usar la condición de que el rango de la matriz $A$ es 2

Dado que la matriz $A$ es de dimensión $3 \times 3$ y su rango es 2, su determinante debe ser cero. Sustituimos el valor de $c = -4$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ -4 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $A$ :

\det(A) = 1(4a - b) - 1(4 - (-4)b) + 1(1 - (-4)a)

\det(A) = 4a - b - (4 + 4b) + (1 + 4a)

\det(A) = 4a - b - 4 - 4b + 1 + 4a

\det(A) = 8a - 5b - 3

Dado que $\det(A) = 0$ , tenemos:

8a - 5b - 3 = 0 \implies 8a - 5b = 3

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones para $a$ y $b$

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $a$ y $b$ :

\begin{cases} a + b = 1 \quad \text{(I)} \\ 8a - 5b = 3 \quad \text{(II)} \end{cases}

De la ecuación (I), despejamos $b$ : $b = 1 - a$ . Sustituimos esta expresión en la ecuación (II):

8a - 5(1 - a) = 3

8a - 5 + 5a = 3

13a = 8

a = \frac{8}{13}

Ahora, sustituimos el valor de $a$ en la expresión de $b$ :

b = 1 - a = 1 - \frac{8}{13} = \frac{13}{13} - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}

Solución

Los valores de $a, b$ y $c$ son:

a = \frac{8}{13}, \quad b = \frac{5}{13}, \quad c = -4