La variable aleatoria $X$ (peso de la gamba roja) sigue una distribución Normal de desviación típica $\sigma = 5$ gramos. Para la media muestral $\bar{X}$, su distribución se aproxima a una Normal con media $\mu_{\bar{X}} = \mu$ y desviación típica $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Los datos proporcionados son:Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ gramos Tamaño de la muestra: $n = 100$ Media muestral: $\bar{x} = 53$ gramos Nivel de confianza: $97.5 \% \Rightarrow 1 - \alpha = 0.975$ Calculamos el valor de $\alpha$:

Para hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$, necesitamos $1 - \frac{\alpha}{2}$:

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{\alpha/2}$ correspondiente a una probabilidad acumulada de $0.9875$ es $2.24$.La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional, con $\sigma$ conocida, es:

Calculamos el error estándar de la media:

Calculamos el margen de error:

Sustituimos los valores en la fórmula del intervalo de confianza:

El intervalo de confianza al $97.5$ % para el peso medio de la gamba roja es $(51.88, 54.12)$ gramos.

Los datos proporcionados son:Media poblacional: $\mu = 53$ gramos Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ gramos Tamaño de la muestra: $n = 64$ Queremos calcular $P(\bar{X} > 53.25)$. Primero, calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar):

Ahora estandarizamos el valor de la media muestral $\bar{X} = 53.25$ utilizando la fórmula del valor $Z$:

Por lo tanto, necesitamos calcular la probabilidad $P(Z > 0.4)$. Utilizando la tabla de la distribución Normal estándar o una calculadora, sabemos que $P(Z \le 0.4) \approx 0.6554$.

La probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a $53.25$ gramos es $0.3446$.