T2: Sistemas de ecuaciones lineales · Problemas de sistemas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Problemas de sistemas

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de $500$ euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es $60$ euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el $6 \%$ , el $12 \%$ y el $30 \%$ , respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a $592,4$ euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Sistema de ecuacionesProblema aplicadoImpuestos

Definición de variables

Sean $x, y, z$ los importes en euros gastados antes de impuestos en las distintas bebidas: $x$ : Importe en refrescos. $y$ : Importe en cerveza. $z$ : Importe en vino.

Planteamiento del sistema de ecuaciones

A partir de los datos del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones:1) El importe total sin impuestos es de $500$ euros: $x + y + z = 500$ 2) El gasto en vino es $60$ euros menos que el de refrescos y cerveza juntos: $z = (x + y) - 60 \Rightarrow x + y - z = 60$ 3) El importe total con impuestos ( $6\%$ , $12\%$ y $30\%$ ) es de $592,4$ euros: $1,06x + 1,12y + 1,30z = 592,4$

\begin{cases} x + y + z = 500 \\ x + y - z = 60 \\ 1,06x + 1,12y + 1,30z = 592,4 \end{cases}

Resolución del sistema

Restamos la segunda ecuación a la primera para despejar $z$ :

(x + y + z) - (x + y - z) = 500 - 60 \Rightarrow 2z = 440 \Rightarrow z = 220 \text{ euros}

Sustituimos $z = 220$ en la primera ecuación para obtener una relación entre $x$ e $y$ :

x + y + 220 = 500 \Rightarrow x + y = 280 \Rightarrow y = 280 - x

Sustituimos $z = 220$ e $y = 280 - x$ en la tercera ecuación:

1,06x + 1,12(280 - x) + 1,30(220) = 592,4

1,06x + 313,6 - 1,12x + 286 = 592,4

-0,06x + 599,6 = 592,4 \Rightarrow -0,06x = -7,2 \Rightarrow x = \frac{7,2}{0,06} = 120 \text{ euros}

Calculamos ahora el valor de $y$ :

y = 280 - 120 = 160 \text{ euros}

Importe final incluyendo impuestos

El problema pide el importe invertido en cada bebida incluyendo los impuestos correspondientes:

Refrescos:

120 \cdot 1,06 = 127,2 \text{ euros}

Cerveza:

160 \cdot 1,12 = 179,2 \text{ euros}

Vino:

220 \cdot 1,30 = 286 \text{ euros}