T2: Interacción electromagnética

Campo y potencial eléctrico

Problema

2018 · Ordinaria · Suplente

2B-b

b) Dos cargas positivas

q_1

q_2

se encuentran situadas en los puntos

(0,0) \text{ m}

(3,0) \text{ m}

respectivamente. Sabiendo que el campo eléctrico es nulo en el punto

(1,0) \text{ m}

y que el potencial electrostático en el punto intermedio entre ambas vale

9 \cdot 10^4 \text{ V}

, determine los valores de dichas cargas.

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Cargas puntualesEquilibrio electrostático

Determinación de las cargas q₁ y q₂

Tenemos dos cargas positivas: $q_1$ en $(0,0)$ m y $q_2$ en $(3,0)$ m. El campo eléctrico es nulo en el punto $P = (1,0)$ m, y el potencial en el punto medio $M = (1{,}5,\, 0)$ m vale $9 \cdot 10^4$ V.

Condición 1: Campo eléctrico nulo en P = (1, 0) m

El punto $P$ está a $r_1 = 1$ m de $q_1$ y a $r_2 = 2$ m de $q_2$ . Para que el campo sea nulo, los campos creados por cada carga deben ser iguales en módulo (y opuestos en dirección, lo cual se cumple automáticamente ya que ambas cargas son positivas y $P$ está entre ellas):

E_1 = E_2 \Rightarrow K\frac{q_1}{r_1^2} = K\frac{q_2}{r_2^2}

\frac{q_1}{1^2} = \frac{q_2}{2^2} \Rightarrow q_1 = \frac{q_2}{4}

Por tanto: $q_2 = 4\, q_1$ ... (ecuación 1)

Condición 2: Potencial en el punto medio M = (1,5 ; 0) m igual a 9·10⁴ V

El punto medio entre $(0,0)$ y $(3,0)$ es $M = (1{,}5,\, 0)$ m. Las distancias son $r_1' = 1{,}5$ m y $r_2' = 1{,}5$ m. El potencial es la suma escalar de los potenciales de cada carga:

V_M = K\frac{q_1}{r_1'} + K\frac{q_2}{r_2'} = 9 \cdot 10^4 \text{ V}

9\cdot10^9 \cdot \frac{q_1}{1{,}5} + 9\cdot10^9 \cdot \frac{q_2}{1{,}5} = 9 \cdot 10^4

9\cdot10^9 \cdot \frac{q_1 + q_2}{1{,}5} = 9 \cdot 10^4

q_1 + q_2 = \frac{9 \cdot 10^4 \cdot 1{,}5}{9 \cdot 10^9} = \frac{1{,}35 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^9} = 1{,}5 \cdot 10^{-5} \text{ C}

Por tanto: $q_1 + q_2 = 1{,}5 \cdot 10^{-5}$ C ... (ecuación 2)

Resolución del sistema de ecuaciones

Sustituyendo $q_2 = 4\,q_1$ en la ecuación 2:

q_1 + 4\,q_1 = 1{,}5 \cdot 10^{-5} \Rightarrow 5\,q_1 = 1{,}5 \cdot 10^{-5}

q_1 = \frac{1{,}5 \cdot 10^{-5}}{5} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C} = 3\ \mu\text{C}

q_2 = 4 \cdot 3 \cdot 10^{-6} = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \text{ C} = 12\ \mu\text{C}

Resultado

Los valores de las cargas son: $q_1 = 3 \cdot 10^{-6}$ C $= 3\ \mu$ C y $q_2 = 1{,}2 \cdot 10^{-5}$ C $= 12\ \mu$ C.