Para que la función $f(x)$ sea continua en $x=2.5$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto.

Igualando ambos límites obtenemos la primera ecuación:

Multiplicando por 4 para simplificar, obtenemos:

Para que la función tenga un máximo en $x=1$, la derivada de la primera parte de la función debe ser cero en ese punto. Primero, calculamos la derivada para $x \le 2.5$:

Establecemos $f'(1) = 0$:

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (Ecuación 1) y (Ecuación 2).De la Ecuación 2, despejamos $b$: $b = -2a$.Sustituimos $b$ en la Ecuación 1:

Ahora calculamos $b$:

Los valores de los parámetros son $a = -2$ y $b = 4$.

La función $g(x) = -2x^2 + 2x + 4$ es una parábola que se abre hacia abajo (porque el coeficiente de $x^2$ es negativo).Calculamos sus puntos clave para la representación gráfica:1. Vértice: La coordenada $x$ del vértice es $x_v = -\frac{b}{2a}$.

El vértice está en $(0.5, 4.5)$.2. Puntos de corte con el eje $Y$: Hacemos $x=0$.

El punto de corte con el eje $Y$ es $(0, 4)$.3. Puntos de corte con el eje $X$: Hacemos $g(x)=0$.

Dividimos por $-2$:

Factorizamos la ecuación:

Los puntos de corte con el eje $X$ son $x = 2$ y $x = -1$.La gráfica es una parábola con vértice en $(0.5, 4.5)$, que corta el eje $Y$ en $(0, 4)$ y el eje $X$ en $(-1, 0)$ y $(2, 0)$.

El área de la región acotada limitada por la gráfica de $g(x)$ y el eje de abscisas se calcula mediante la integral definida de la función entre sus puntos de corte con el eje $X$, que son $x = -1$ y $x = 2$. Dado que la parábola se abre hacia abajo y el vértice está por encima del eje $X$ entre estos puntos, la función es positiva en este intervalo.

Primero, calculamos la integral indefinida:

Ahora, evaluamos la integral definida utilizando la regla de Barrow:

El área de la región acotada es de $9$ unidades cuadradas.