T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Probabilidad condicionada

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

El 7% de los habitantes de una ciudad no tienen ni coche ni moto. De entre los que tienen coche el 36% tienen moto y de entre los que no tienen coche el 28% no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad:

a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?d) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

ProbabilidadSucesos independientesSucesos incompatibles

Definimos los siguientes sucesos: $C$ : El habitante tiene coche. $\overline{C}$ : El habitante no tiene coche. $M$ : El habitante tiene moto. $\overline{M}$ : El habitante no tiene moto.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(\overline{C} \cap \overline{M}) = 0.07

P(M|C) = 0.36

P(\overline{M}|\overline{C}) = 0.28

De $P(M|C) = 0.36$ , se deduce que $P(\overline{M}|C) = 1 - P(M|C) = 1 - 0.36 = 0.64$ .De $P(\overline{M}|\overline{C}) = 0.28$ , se deduce que $P(M|\overline{C}) = 1 - P(\overline{M}|\overline{C}) = 1 - 0.28 = 0.72$ .Usando la fórmula de probabilidad condicional $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , podemos calcular $P(\overline{C})$ :

P(\overline{M}|\overline{C}) = \frac{P(\overline{M} \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \implies 0.28 = \frac{0.07}{P(\overline{C})}

P(\overline{C}) = \frac{0.07}{0.28} = 0.25

Con $P(\overline{C}) = 0.25$ , podemos calcular $P(C)$ :

P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0.25 = 0.75

Ahora calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(M \cap C) = P(M|C) \cdot P(C) = 0.36 \cdot 0.75 = 0.27

P(\overline{M} \cap C) = P(\overline{M}|C) \cdot P(C) = 0.64 \cdot 0.75 = 0.48

P(M \cap \overline{C}) = P(M|\overline{C}) \cdot P(\overline{C}) = 0.72 \cdot 0.25 = 0.18

(La probabilidad $P(\overline{M} \cap \overline{C}) = 0.07$ ya la teníamos como dato inicial.)

a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.

Se pide la probabilidad de tener coche y no moto, o tener moto y no coche: $P((C \cap \overline{M}) \cup (M \cap \overline{C}))$ .

P(\text{solo uno}) = P(C \cap \overline{M}) + P(M \cap \overline{C})

P(\text{solo uno}) = 0.48 + 0.18 = 0.66

b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.

Se pide $P(C \cup M)$ . Este suceso es el complemento del suceso "no tener ni coche ni moto" ( $P(\overline{C} \cap \overline{M})$ ).

P(C \cup M) = 1 - P(\overline{C} \cap \overline{M})

P(C \cup M) = 1 - 0.07 = 0.93

c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?

Se pide la probabilidad condicional $P(\overline{M}|C)$ .

P(\overline{M}|C) = \frac{P(\overline{M} \cap C)}{P(C)}

P(\overline{M}|C) = \frac{0.48}{0.75} = 0.64

d) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean independientes, se debe cumplir que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ o $P(A|B) = P(A)$ .Verificamos para los sucesos $C$ (tener coche) y $\overline{M}$ (no tener moto):

P(C \cap \overline{M}) = 0.48

P(C) = 0.75

Calculamos $P(\overline{M})$ :

P(\overline{M}) = P(\overline{M} \cap C) + P(\overline{M} \cap \overline{C}) = 0.48 + 0.07 = 0.55

P(C) \cdot P(\overline{M}) = 0.75 \cdot 0.55 = 0.4125

Dado que $P(C \cap \overline{M}) = 0.48 \neq 0.4125 = P(C) \cdot P(\overline{M})$ , los sucesos "tener coche" y "no tener moto" NO son independientes.Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), se debe cumplir que $P(A \cap B) = 0$ .En este caso, $P(C \cap \overline{M}) = 0.48$ .Dado que $P(C \cap \overline{M}) = 0.48 \neq 0$ , los sucesos "tener coche" y "no tener moto" NO son incompatibles.