T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2024

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Una fábrica dispone de 3 máquinas $A, B$ y $C$ para la fabricación de una cierta pieza. El 25% de las piezas son fabricadas por la máquina $A$ , el 35% por $B$ y el resto por $C$ . Tras un estudio se determina que el 2.05% del total de las piezas fabricadas son defectuosas y que el 1% de las piezas fabricadas por $B$ son defectuosas.

a) Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que fuera fabricada por la máquina

B

?b) Si

A

C

tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza sea fabricada por

A

sabiendo que es defectuosa?

Probabilidad TotalTeorema de BayesControl de calidad

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : la pieza es fabricada por la máquina A. $B$ : la pieza es fabricada por la máquina B. $C$ : la pieza es fabricada por la máquina C. $D$ : la pieza es defectuosa. $D'$ : la pieza no es defectuosa.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.25

P(B) = 0.35

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.25 - 0.35 = 0.40

P(D) = 0.0205

P(D|B) = 0.01

a) Se nos pide calcular la probabilidad de que la pieza fuera fabricada por la máquina B, sabiendo que no es defectuosa, es decir,

P(B|D')

Primero calculamos la probabilidad de que una pieza no sea defectuosa, dado que ha sido fabricada por B, $P(D'|B)$ , y la probabilidad de que una pieza no sea defectuosa, $P(D')$ :

P(D'|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0.01 = 0.99

P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.0205 = 0.9795

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

P(B|D') = \frac{P(D'|B) \cdot P(B)}{P(D')}

P(B|D') = \frac{0.99 \cdot 0.35}{0.9795}

P(B|D') = \frac{0.3465}{0.9795} = \frac{3465}{9795} = \frac{231}{653}

b) Se nos pide calcular la probabilidad de que la pieza haya sido fabricada por A, sabiendo que es defectuosa, es decir,

P(A|D)

Sabemos que $P(D|A) = P(D|C)$ . Sea $x = P(D|A) = P(D|C)$ . Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para $P(D)$ :

P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)

0.0205 = x \cdot 0.25 + 0.01 \cdot 0.35 + x \cdot 0.40

0.0205 = 0.25x + 0.0035 + 0.40x

0.0205 - 0.0035 = 0.65x

0.0170 = 0.65x

x = \frac{0.0170}{0.65} = \frac{170}{6500} = \frac{17}{650}

Por lo tanto, $P(D|A) = \frac{17}{650}$ .Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes para calcular $P(A|D)$ :

P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}

P(A|D) = \frac{\left(\frac{17}{650}\right) \cdot 0.25}{0.0205}

P(A|D) = \frac{\frac{17}{650} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{205}{10000}}

P(A|D) = \frac{\frac{17}{2600}}{\frac{41}{2000}}

P(A|D) = \frac{17}{2600} \cdot \frac{2000}{41}

P(A|D) = \frac{17 \cdot 2000}{2600 \cdot 41} = \frac{17 \cdot 20}{26 \cdot 41} = \frac{17 \cdot 10}{13 \cdot 41} = \frac{170}{533}