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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
5
Examen

Considera el sistema de ecuaciones lineales

{ax+y+z=1+ax+2y−z=1−ax+(1+a)y−az=0\begin{cases} ax + y + z = 1 + a \\ x + 2y - z = 1 - a \\ x + (1 + a)y - az = 0 \end{cases}
a) Calcula aa para que el sistema sea compatible indeterminado.b) Resuelve el sistema, si es posible, para a=0a = 0.
Sistemas con parámetrosTeorema de Rouché-FrobeniusSistema compatible indeterminado
Discusión y resolución del sistema de ecuaciones

Escribimos el sistema en forma matricial AX=BAX = B donde la matriz de coeficientes AA y la matriz ampliada A∗A^* son:

A=(a1112−111+a−a)A∗=(a111+a12−11−a11+a−a0)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+a & -a \end{pmatrix} \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1+a \\ 1 & 2 & -1 & 1-a \\ 1 & 1+a & -a & 0 \end{array} \right)
a) Calcula aa para que el sistema sea compatible indeterminado.

Un sistema es compatible indeterminado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, y este valor es menor que el número de incógnitas. Calculamos primero el determinante de la matriz AA:

∣A∣=∣a1112−111+a−a∣=a(−2a+1+a)−1(−a+1)+1(1+a−2)|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+a & -a \end{vmatrix} = a(-2a + 1 + a) - 1(-a + 1) + 1(1+a - 2)
|A| = a(1-a) + a - 1 + a - 1 = a - a^2 + 2a - 2 = -a^2 + 3a - 2

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de aa:

−a2+3a−2=0  ⟹  a=−3±32−4(−1)(−2)2(−1)=−3±1−2-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(-2)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm 1}{-2}

Esto nos da dos valores: a=1a = 1 y a=2a = 2.Estudiamos el caso a=1a = 1. Sustituyendo en la matriz ampliada:

A∗=(111212−1012−10)A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{array} \right)

Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas, por lo que el rg(A)=rg(A∗)=2\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2. Al ser menor que el número de incógnitas (3), el sistema es compatible indeterminado para a=1a = 1.Estudiamos el caso a=2a = 2. Sustituyendo en la matriz ampliada:

A∗=(211312−1−113−20)A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 & 0 \end{array} \right)

En este caso rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Si calculamos un menor de orden 3 de la matriz ampliada usando la columna de términos constantes:

∣21312−1130∣=2(0+3)−1(0+1)+3(3−2)=6−1+3=8≠0\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 2(0 + 3) - 1(0 + 1) + 3(3 - 2) = 6 - 1 + 3 = 8 \neq 0

Por tanto, para a=2a = 2, el rg(A∗)=3\text{rg}(A^*) = 3, lo que significa que el sistema es incompatible. La solución es a=1a = 1.

b) Resuelve el sistema, si es posible, para a=0a = 0.

Para a=0a = 0, el determinante ∣A∣=−02+3(0)−2=−2≠0|A| = -0^2 + 3(0) - 2 = -2 \neq 0, por lo que el sistema es compatible determinado. El sistema resultante es:

{y+z=1x+2y−z=1x+y=0\begin{cases} y + z = 1 \\ x + 2y - z = 1 \\ x + y = 0 \end{cases}

De la tercera ecuación obtenemos y=−xy = -x. Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones:

{−x+z=1x+2(−x)−z=1  ⟹  {−x+z=1−x−z=1\begin{cases} -x + z = 1 \\ x + 2(-x) - z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -x + z = 1 \\ -x - z = 1 \end{cases}

Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones obtenemos:

−2x=2  ⟹  x=−1-2x = 2 \implies x = -1

Finalmente, calculamos el valor de las otras incógnitas sustituyendo x=−1x = -1:

y=−(−1)=1;z=1−y=1−1=0y = -(-1) = 1 \quad ; \quad z = 1 - y = 1 - 1 = 0

La solución del sistema para a=0a = 0 es (x,y,z)=(−1,1,0)(x, y, z) = (-1, 1, 0).