T6: Teoría de muestras · Muestreo e Inferencia de proporciones — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Muestreo e Inferencia de proporciones

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE D

a) Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2?b) Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están subscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al

95 \ \%

con un error máximo de

0.15

Muestreo aleatorio simpleMedia muestralIntervalo de confianza+1

a) Para calcular el número de muestras de tamaño 2 que se pueden formar con los números naturales del 1 al 6 aplicando un muestreo aleatorio simple, se utiliza la fórmula de combinaciones, ya que el orden de los elementos en la muestra no importa y no hay reemplazamiento.

Los números disponibles son $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , por lo que el tamaño de la población es $N = 6$ . El tamaño de la muestra es $n = 2$ .

C(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}

C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

Se pueden formar 15 muestras de tamaño 2.Para calcular la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2, primero listamos todas las muestras posibles y calculamos sus medias:Muestras (media): $(1,2)$ (1.5) $(1,3)$ (2) $(1,4)$ (2.5) $(1,5)$ (3) $(1,6)$ (3.5) $(2,3)$ (2.5) $(2,4)$ (3) $(2,5)$ (3.5) $(2,6)$ (4) $(3,4)$ (3.5) $(3,5)$ (4) $(3,6)$ (4.5) $(4,5)$ (4.5) $(4,6)$ (5) $(5,6)$ (5.5)Las muestras cuya media es como máximo 2 (es decir, $\le 2$ ) son: $(1,2)$ con media 1.5 $(1,3)$ con media 2 Hay 2 muestras que cumplen la condición.La probabilidad se calcula como el número de casos favorables dividido por el número total de casos posibles:

P(\text{media} \le 2) = \frac{\text{Número de muestras con media} \le 2}{\text{Número total de muestras}} = \frac{2}{15}

b) Para estimar el tamaño de muestra necesario para una proporción con un intervalo de confianza dado y un error máximo, utilizamos la siguiente fórmula:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}

Donde:* $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza del $95 \ %$ .* $p$ es la proporción poblacional (si es desconocida, se toma $p=0.5$ para maximizar $n$ ).* $q = 1 - p$ .* $E$ es el error máximo permitido.Datos:Nivel de confianza: $95 \ \% \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un $95 \ \%$ de confianza es $1.96$ .Error máximo ( $E$ ): $0.15$ .Como la proporción $p$ es desconocida, tomamos $p = 0.5$ y, por lo tanto, $q = 1 - 0.5 = 0.5$ para garantizar el tamaño de muestra más conservador (mayor).

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{(0.15)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.25}{0.0225}

n = \frac{0.9604}{0.0225}

n \approx 42.6844

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos asegurarnos de cumplir con el error máximo, siempre se redondea al entero superior.Por lo tanto, el tamaño de muestra que debemos tomar es $n = 43$ .