AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Continuidad y derivabilidad
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen

Se considera la función

f(x)={x2+ax−1six≤1bxsi1<x≤3x−13six>3f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{b}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

con aa y bb números reales.

a) Determine los valores de aa y bb para que ff sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de ff.b) Para a=5a = 5 y b=2b = 2, represente el recinto limitado por la gráfica de ff, las rectas x=2x = 2, x=4x = 4 y el eje OX. Calcule su área.
ContinuidadDerivabilidadCálculo de áreas+1
a) Determine los valores de aa y bb para que ff sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de ff.

Para que la función f(x)f(x) sea continua, debe serlo en los puntos donde cambia de definición, es decir, en x=1x=1 y en x=3x=3. Además, las funciones parciales son continuas en sus respectivos dominios.Condición de continuidad en x=1x=1: Los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(x2+ax−1)=12+a(1)−1=a\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax - 1) = 1^2 + a(1) - 1 = a
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+bx=b1=b\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{b}{x} = \frac{b}{1} = b
f(1)=12+a(1)−1=af(1) = 1^2 + a(1) - 1 = a

Para que sea continua en x=1x=1, se debe cumplir a=ba = b.Condición de continuidad en x=3x=3: Los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−bx=b3\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{b}{x} = \frac{b}{3}
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+x−13=3−13=23\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x-1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}
f(3)=b3f(3) = \frac{b}{3}

Para que sea continua en x=3x=3, se debe cumplir b3=23\frac{b}{3} = \frac{2}{3}, lo que implica b=2b=2.Sustituyendo b=2b=2 en a=ba=b, obtenemos a=2a=2.Por lo tanto, para que f(x)f(x) sea continua, los valores deben ser a=2a=2 y b=2b=2.Estudio de la derivabilidad para a=2a=2 y b=2b=2:La función es:

f(x)={x2+2x−1six≤12xsi1<x≤3x−13six>3f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{2}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

Calculamos la derivada de cada trozo:

f′(x)={2x+2six<1−2x2si1<x<313six>3f'(x) = \begin{cases} 2x + 2 & si & x < 1 \\ -\frac{2}{x^2} & si & 1 < x < 3 \\ \frac{1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

Estudiamos la derivabilidad en x=1x=1:

f′(1−)=lim⁡x→1−(2x+2)=2(1)+2=4f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2x+2) = 2(1)+2 = 4
f′(1+)=lim⁡x→1+(−2x2)=−212=−2f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{1^2} = -2

Como f′(1−)≠f′(1+)f'(1^-) \ne f'(1^+), la función no es derivable en x=1x=1.Estudiamos la derivabilidad en x=3x=3:

f′(3−)=lim⁡x→3−(−2x2)=−232=−29f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{3^2} = -\frac{2}{9}
f′(3+)=lim⁡x→3+13=13f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Como f′(3−)≠f′(3+)f'(3^-) \ne f'(3^+), la función no es derivable en x=3x=3.En resumen, para a=2a=2 y b=2b=2, la función f(x)f(x) es continua en todo R\mathbb{R} pero no es derivable en x=1x=1 ni en x=3x=3.

b) Para a=5a = 5 y b=2b = 2, represente el recinto limitado por la gráfica de ff, las rectas x=2x = 2, x=4x = 4 y el eje OX. Calcule su área.

Con a=5a=5 y b=2b=2, la función es:

f(x)={x2+5x−1six≤12xsi1<x≤3x−13six>3f(x) = \begin{cases} x^2 + 5x - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{2}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

El recinto está limitado por f(x)f(x), las rectas verticales x=2x=2 y x=4x=4, y el eje OX (y=0y=0). El intervalo de integración es [2,4][2, 4].Observamos qué tramos de la función se utilizan en este intervalo:* Para x∈[2,3]x \in [2, 3], f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x}.* Para x∈[3,4]x \in [3, 4], f(x)=x−13f(x) = \frac{x-1}{3}.Verificamos que la función es positiva en este intervalo. Para x∈[2,3]x \in [2, 3], 2x>0\frac{2}{x} > 0. Para x∈[3,4]x \in [3, 4], x−13>0\frac{x-1}{3} > 0. Por lo tanto, el área se calcula directamente mediante la integral de la función en el intervalo [2,4][2, 4].La representación del recinto sería el área bajo la curva de f(x)f(x) desde x=2x=2 hasta x=4x=4, y por encima del eje OX. Los puntos clave en la gráfica son:

f(2)=22=1f(2) = \frac{2}{2} = 1
f(3)=23f(3) = \frac{2}{3}
f(4)=4−13=33=1f(4) = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1

La curva y=2xy=\frac{2}{x} es una hipérbola decreciente en [2,3][2,3] y la curva y=x−13y=\frac{x-1}{3} es una recta creciente en [3,4][3,4].Calculamos el área como la suma de dos integrales:

Aˊrea=∫24f(x) dx=∫232x dx+∫34x−13 dx\text{Área} = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx + \int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx

Calculamos la primera integral:

∫232x dx=[2ln⁡∣x∣]23=2ln⁡(3)−2ln⁡(2)=2(ln⁡(3)−ln⁡(2))=2ln⁡(32)\int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx = [2 \ln|x|]_{2}^{3} = 2 \ln(3) - 2 \ln(2) = 2(\ln(3) - \ln(2)) = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right)

Calculamos la segunda integral:

∫34x−13 dx=13∫34(x−1) dx=13[x22−x]34\int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{3}^{4} (x-1) \, dx = \frac{1}{3} \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{3}^{4}
=13[(422−4)−(322−3)]= \frac{1}{3} \left[\left(\frac{4^2}{2} - 4\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3\right)\right]
=13[(8−4)−(92−3)]= \frac{1}{3} \left[\left(8 - 4\right) - \left(\frac{9}{2} - 3\right)\right]
=13[4−(9−62)]= \frac{1}{3} \left[4 - \left(\frac{9-6}{2}\right)\right]
=13[4−32]=13[8−32]=13⋅52=56= \frac{1}{3} \left[4 - \frac{3}{2}\right] = \frac{1}{3} \left[\frac{8-3}{2}\right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}

Sumando ambas partes para obtener el área total:

Aˊrea=2ln⁡(32)+56 u2\text{Área} = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{5}{6} \text{ u}^2