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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
D1-b
Examen
b) Un fotón tiene una frecuencia de 4,5⋅109 Hz4,5 \cdot 10^9 \text{ Hz}. Calcule razonadamente: i) la velocidad de un electrón que tiene la misma energía cinética que el fotón; ii) la velocidad de un electrón que tiene la misma longitud de onda que el fotón.

Datos: me=9,11⋅10−31 kg;c=3⋅108 m s−1;h=6,63⋅10−34 J sm_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}; h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}

FotónEnergía cinéticaHipótesis de de Broglie
b) Un fotón tiene una frecuencia de 4,5⋅109 Hz4,5 \cdot 10^9 \text{ Hz}. Calcule razonadamente: i) la velocidad de un electrón que tiene la misma energía cinética que el fotón; ii) la velocidad de un electrón que tiene la misma longitud de onda que el fotón.i) Velocidad de un electrón que tiene la misma energía cinética que el fotón.

Primero, calculamos la energía de un fotón con la frecuencia dada, utilizando la relación de Planck:

Efotoˊn=hνE_{fotón} = h \nu
Efotoˊn=(6,63⋅10−34 J s)⋅(4,5⋅109 Hz)=2,9835⋅10−24 JE_{fotón} = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}) \cdot (4,5 \cdot 10^9 \text{ Hz}) = 2,9835 \cdot 10^{-24} \text{ J}

Ahora, igualamos esta energía a la energía cinética de un electrón. Suponemos que la velocidad del electrón es no relativista, por lo que usamos la fórmula clásica para la energía cinética:

Ec,electroˊn=12mev2E_{c,electrón} = \frac{1}{2} m_e v^2

Dado que Ec,electroˊn=EfotoˊnE_{c,electrón} = E_{fotón}:

12mev2=Efotoˊn\frac{1}{2} m_e v^2 = E_{fotón}

Despejamos la velocidad vv:

v=2Efotoˊnmev = \sqrt{\frac{2 E_{fotón}}{m_e}}
v=2⋅(2,9835⋅10−24 J)9,11⋅10−31 kg=5,967⋅10−249,11⋅10−31 m/sv = \sqrt{\frac{2 \cdot (2,9835 \cdot 10^{-24} \text{ J})}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = \sqrt{\frac{5,967 \cdot 10^{-24}}{9,11 \cdot 10^{-31}}} \text{ m/s}
v=6,550⋅106 m/s≈2559 m/sv = \sqrt{6,550 \cdot 10^6} \text{ m/s} \approx 2559 \text{ m/s}

La velocidad del electrón es v≈2,56⋅103 m/sv \approx 2,56 \cdot 10^3 \text{ m/s}. Esta velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz, por lo que la aproximación no relativista es válida.

ii) Velocidad de un electrón que tiene la misma longitud de onda que el fotón.

Primero, calculamos la longitud de onda del fotón utilizando la relación entre la velocidad de la luz, la frecuencia y la longitud de onda:

λfotoˊn=cν\lambda_{fotón} = \frac{c}{\nu}
λfotoˊn=3⋅108 m s−14,5⋅109 Hz=0,06667 m\lambda_{fotón} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{4,5 \cdot 10^9 \text{ Hz}} = 0,06667 \text{ m}

Ahora, igualamos esta longitud de onda a la longitud de onda de de Broglie del electrón:

λelectroˊn=hmev\lambda_{electrón} = \frac{h}{m_e v}

Dado que λelectroˊn=λfotoˊn\lambda_{electrón} = \lambda_{fotón}:

hmev=λfotoˊn\frac{h}{m_e v} = \lambda_{fotón}

Despejamos la velocidad vv:

v=hmeλfotoˊnv = \frac{h}{m_e \lambda_{fotón}}
v=6,63⋅10−34 J s(9,11⋅10−31 kg)⋅(0,06667 m)v = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) \cdot (0,06667 \text{ m})}
v=6,63⋅10−346,073637⋅10−32 m/s≈0,0109 m/sv = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{6,073637 \cdot 10^{-32}} \text{ m/s} \approx 0,0109 \text{ m/s}

La velocidad del electrón es v≈1,09⋅10−2 m/sv \approx 1,09 \cdot 10^{-2} \text{ m/s}. Esta velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz, lo que confirma la validez de la fórmula de de Broglie no relativista.