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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio de masas puntuales
Problema
2019 · Ordinaria · Titular
1A-b
Examen
b) Dos cuerpos, de 10 kg10 \text{ kg} de masa, se encuentran en dos de los vértices de un triángulo equilátero, de 0,5 m0,5 \text{ m} de lado. i) Calcule el campo gravitatorio que estas dos masas generan en el tercer vértice del triángulo. ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria de las dos masas para traer otro cuerpo de 10 kg10 \text{ kg} desde el infinito hasta el tercer vértice del triángulo.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Triángulo equiláteroPrincipio de superposiciónTrabajo gravitatorio
b) i) Para calcular el campo gravitatorio en el tercer vértice del triángulo, primero establecemos un sistema de coordenadas. Podemos situar una de las masas (m1m_1) en el origen (0,0)(0,0) y la otra (m2m_2) en (r,0)(r,0), donde r=0,5 mr = 0,5 \text{ m} es el lado del triángulo equilátero. El tercer vértice P se encontrará en las coordenadas (r/2,r3/2)(r/2, r\sqrt{3}/2). Para este problema, m1=m2=10 kgm_1 = m_2 = 10 \text{ kg}. El campo gravitatorio total en P será la suma vectorial de los campos generados por cada masa: g⃗P=g⃗1+g⃗2\vec{g}_P = \vec{g}_1 + \vec{g}_2.

La magnitud del campo gravitatorio debido a una masa puntual es g=Gmd2g = G \frac{m}{d^2}, y su dirección es hacia la masa que lo genera.La distancia de cada masa al punto P es r=0,5 mr = 0,5 \text{ m}. La magnitud de cada campo será la misma:

g1=g2=Gmr2=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)10 kg(0,5 m)2g_1 = g_2 = G \frac{m}{r^2} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{10 \text{ kg}}{(0,5 \text{ m})^2}
g1=g2=6,67⋅10−11⋅100,25=6,67⋅10−11⋅40=2,668⋅10−9 N⋅kg−1g_1 = g_2 = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{10}{0,25} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 40 = 2,668 \cdot 10^{-9} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Ahora, descomponemos vectorialmente cada campo. Consideramos que la masa m1m_1 está en (0,0)(0,0) y m2m_2 en (0.5,0)(0.5,0). El punto P está en (0.25,0.253)(0.25, 0.25\sqrt{3}). El vector unitario desde m1m_1 hasta P es u^1P=(cos⁡60∘i^+sin⁡60∘j^)\hat{u}_{1P} = (\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}). El vector unitario desde m2m_2 hasta P es u^2P=(cos⁡120∘i^+sin⁡120∘j^)\hat{u}_{2P} = (\cos 120^\circ \hat{i} + \sin 120^\circ \hat{j}).

g⃗1=−g1u^1P=−g1(cos⁡60∘i^+sin⁡60∘j^)\vec{g}_1 = -g_1 \hat{u}_{1P} = -g_1 (\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j})
g⃗1=−2,668⋅10−9(0,5i^+32j^) N⋅kg−1\vec{g}_1 = -2,668 \cdot 10^{-9} \left(0,5 \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}\right) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗1=(−1,334⋅10−9i^−2,310⋅10−9j^) N⋅kg−1\vec{g}_1 = (-1,334 \cdot 10^{-9} \hat{i} - 2,310 \cdot 10^{-9} \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗2=−g2u^2P=−g2(cos⁡120∘i^+sin⁡120∘j^)\vec{g}_2 = -g_2 \hat{u}_{2P} = -g_2 (\cos 120^\circ \hat{i} + \sin 120^\circ \hat{j})
g⃗2=−2,668⋅10−9(−0,5i^+32j^) N⋅kg−1\vec{g}_2 = -2,668 \cdot 10^{-9} \left(-0,5 \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}\right) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
g⃗2=(1,334⋅10−9i^−2,310⋅10−9j^) N⋅kg−1\vec{g}_2 = (1,334 \cdot 10^{-9} \hat{i} - 2,310 \cdot 10^{-9} \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

El campo gravitatorio total en P es la suma de los componentes:

g⃗P=g⃗1+g⃗2=(−1,334⋅10−9+1,334⋅10−9)i^+(−2,310⋅10−9−2,310⋅10−9)j^\vec{g}_P = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (-1,334 \cdot 10^{-9} + 1,334 \cdot 10^{-9}) \hat{i} + (-2,310 \cdot 10^{-9} - 2,310 \cdot 10^{-9}) \hat{j}
g⃗P=(0i^−4,62⋅10−9j^) N⋅kg−1\vec{g}_P = (0 \hat{i} - 4,62 \cdot 10^{-9} \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

El campo gravitatorio en el tercer vértice es:

g⃗P=−4,62⋅10−9j^ N⋅kg−1\vec{g}_P = -4,62 \cdot 10^{-9} \hat{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
b) ii) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para traer un cuerpo de masa m3m_3 desde el infinito hasta el tercer vértice P del triángulo es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria del sistema cambiada de signo (W∞P=−(UP−U∞)W_{\infty P} = -(U_P - U_\infty)). Considerando que la energía potencial en el infinito es cero (U∞=0U_\infty = 0), el trabajo es W∞P=−UPW_{\infty P} = -U_P.

La energía potencial gravitatoria de la masa m3m_3 en el punto P, debido a las masas m1m_1 y m2m_2, es:

UP=−G(m1m3r1P+m2m3r2P)U_P = -G \left(\frac{m_1 m_3}{r_{1P}} + \frac{m_2 m_3}{r_{2P}}\right)

Dado que m1=m2=m3=10 kgm_1 = m_2 = m_3 = 10 \text{ kg} y las distancias r1P=r2P=r=0,5 mr_{1P} = r_{2P} = r = 0,5 \text{ m} son iguales, la expresión se simplifica a:

UP=−2Gm1m3rU_P = -2G \frac{m_1 m_3}{r}

Sustituyendo los valores numéricos:

UP=−2⋅(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(10 kg)(10 kg)0,5 mU_P = -2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot \frac{(10 \text{ kg})(10 \text{ kg})}{0,5 \text{ m}}
UP=−2⋅6,67⋅10−11⋅1000,5=−2⋅6,67⋅10−11⋅200U_P = -2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{100}{0,5} = -2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 200
UP=−2668⋅10−11=−2,668⋅10−8 JU_P = -2668 \cdot 10^{-11} = -2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es:

W∞P=−UP=−(−2,668⋅10−8 J)W_{\infty P} = -U_P = -(-2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J})
W∞P=2,668⋅10−8 JW_{\infty P} = 2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J}