T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2023

Operaciones con matrices

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula

A^{10}

.b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de

I + A + A^2

, donde

I

denota la matriz identidad de orden 3.

Potencia de matrizMatriz inversaMatrices nilpotentes

Resolución de ejercicio de matrices

a) Calcula

A^{10}

Para calcular las potencias de la matriz $A$ , procedemos a realizar las multiplicaciones sucesivas para comprobar si la matriz es nilpotente:

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}

Puesto que $A^3$ es la matriz nula ( $\mathbf{0}$ ), cualquier potencia superior de la matriz también será nula. En particular, para $n \geq 3$ , $A^n = \mathbf{0}$ . Por lo tanto:

A^{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de

I + A + A^2

, donde

I

denota la matriz identidad de orden 3.

Denotamos $M = I + A + A^2$ . Para determinar si existe la inversa, podemos aprovechar el resultado del apartado anterior ( $A^3 = \mathbf{0}$ ). Recordando la identidad algebraica para la suma de una progresión geométrica, tenemos que $(I - A)(I + A + A^2) = I - A^3$ . Sustituyendo el valor de $A^3$ :

(I - A)(I + A + A^2) = I - \mathbf{0} = I

Esta igualdad demuestra que la matriz $M = I + A + A^2$ es invertible y que su inversa es precisamente $M^{-1} = I - A$ . Calculamos dicha matriz:

(I + A + A^2)^{-1} = I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -a & b \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}