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T4: Óptica
Óptica geométrica
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
C2-b
Examen

Se coloca un objeto luminoso delante de una lente divergente de distancia focal 5 cm5\text{ cm}. Se quiere que la imagen formada tenga 1/31/3 del tamaño del objeto y su misma orientación.

b) i) Calcule la posición del objeto. ii) Obtenga la posición de la imagen. iii) Realice el trazado de rayos y explique el carácter real o virtual de la imagen. Justifique sus respuestas.
Lentes divergentesAumento lateralTrazado de rayos
b) i) Calcule la posición del objeto.

La distancia focal de una lente divergente es negativa, por lo tanto, f=−5 cmf = -5\text{ cm}. El aumento lateral (M′M') para una imagen con la misma orientación que el objeto es positivo, y como el tamaño es 1/31/3 del objeto, M′=+1/3M' = +1/3.La fórmula del aumento lateral es:

M′=−s′sM' = -\frac{s'}{s}

Sustituyendo el valor de M′M':

13=−s′s  ⟹  s′=−s3\frac{1}{3} = -\frac{s'}{s} \implies s' = -\frac{s}{3}

La ecuación de las lentes delgadas (ecuación de Gauss) es:

1f=1s+1s′\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'}

Sustituimos f=−5 cmf = -5\text{ cm} y s′=−s/3s' = -s/3 en la ecuación de la lente:

1−5 cm=1s+1(−s/3)\frac{1}{-5\text{ cm}} = \frac{1}{s} + \frac{1}{(-s/3)}
1−5=1s−3s\frac{1}{-5} = \frac{1}{s} - \frac{3}{s}
1−5=1−3s\frac{1}{-5} = \frac{1-3}{s}
1−5=−2s\frac{1}{-5} = \frac{-2}{s}
s=(−2)×(−5 cm)s = (-2) \times (-5\text{ cm})
s=10 cms = 10\text{ cm}

La posición del objeto es 10 cm10\text{ cm} (a la izquierda de la lente, lo que indica que es un objeto real).

b) ii) Obtenga la posición de la imagen.

Usando la relación obtenida del aumento lateral:

s′=−s3s' = -\frac{s}{3}

Sustituyendo el valor de s=10 cms = 10\text{ cm}:

s′=−10 cm3s' = -\frac{10\text{ cm}}{3}
s′≈−3.33 cms' \approx -3.33\text{ cm}

La posición de la imagen es aproximadamente −3.33 cm-3.33\text{ cm}.

b) iii) Realice el trazado de rayos y explique el carácter real o virtual de la imagen. Justifique sus respuestas.
FF'ObjetoLente divergente

El trazado de rayos para una lente divergente con un objeto real se realiza de la siguiente manera:1. Un rayo paralelo al eje óptico, que después de refractarse en la lente, parece provenir del foco objeto (FoF_o) situado a la izquierda de la lente.2. Un rayo que se dirige hacia el foco imagen (FiF_i) (situado a la derecha de la lente), se refracta en la lente y emerge paralelo al eje óptico.3. Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente no se desvía.La imagen se forma en el punto donde se interceptan las prolongaciones de los rayos refractados (o los rayos, en el caso del rayo central). En este caso, la imagen se forma por la intersección de las prolongaciones de los rayos refractados.Justificación del carácter de la imagen:- Virtual: La posición de la imagen s′=−10/3 cms' = -10/3\text{ cm} es negativa. Esto significa que la imagen se forma en el mismo lado de la lente que el objeto y no se puede proyectar en una pantalla. Para una lente divergente, la imagen de un objeto real siempre es virtual.- Derecha (no invertida): El aumento lateral M′=+1/3M' = +1/3 es positivo. Esto indica que la imagen tiene la misma orientación que el objeto (es decir, está derecha).- Menor tamaño (disminuida): El valor absoluto del aumento lateral ∣M′∣=1/3|M'| = 1/3 es menor que 1. Esto significa que el tamaño de la imagen es menor que el tamaño del objeto (específicamente, un tercio del tamaño del objeto).Estas características (virtual, derecha y disminuida) son consistentes con la imagen formada por una lente divergente a partir de un objeto real.