AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Funciones exponenciales y cálculo
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen
EJERCICIO 3

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en mgmg) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años tt, viene dada por la función:

f(t)=10⋅(12)t30;t≥0f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} ; t \geq 0
a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff, en el punto de abscisa t=10t = 10.c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.
Función exponencialDerivadasRecta tangente+1
a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.

La cantidad inicial de Cesio 137 se obtiene evaluando la función en t=0t=0:

f(0)=10⋅(12)030=10⋅(12)0=10⋅1=10 mgf(0) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{0}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ mg}

Queremos encontrar el tiempo tt para el cual la cantidad de Cesio 137 sea la mitad de la inicial, es decir, 12⋅10=5 mg\frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ mg}. Igualamos la función a 5:

10⋅(12)t30=510 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 5

Dividimos por 10:

(12)t30=510\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{5}{10}
(12)t30=12\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{1}{2}

Dado que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

t30=1\frac{t}{30} = 1
t=30t = 30

Deben pasar 30 años para que la cantidad de Cesio 137 se reduzca a la mitad de la inicial.

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff, en el punto de abscisa t=10t = 10.

La ecuación de la recta tangente en un punto t0t_0 es y−f(t0)=f′(t0)(t−t0)y - f(t_0) = f'(t_0)(t - t_0). Primero, calculamos f(10)f(10):

f(10)=10⋅(12)1030=10⋅(12)13=10⋅123f(10) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

Ahora, calculamos la derivada de la función f(t)f(t). Usaremos la regla de derivación para funciones exponenciales ag(t)a^{g(t)}: ddt(ag(t))=ag(t)⋅ln⁡(a)⋅g′(t)\frac{d}{dt}(a^{g(t)}) = a^{g(t)} \cdot \ln(a) \cdot g'(t).

f′(t)=10⋅ddt[(12)t30]f'(t) = 10 \cdot \frac{d}{dt} \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \right]
f′(t)=10⋅(12)t30⋅ln⁡(12)⋅130f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{30}

Simplificamos ln⁡(12)=ln⁡(1)−ln⁡(2)=−ln⁡(2)\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2):

f′(t)=10⋅(12)t30⋅(−ln⁡(2))⋅130f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot (-\ln(2)) \cdot \frac{1}{30}
f′(t)=−ln⁡(2)3⋅(12)t30f'(t) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

Evaluamos f′(t)f'(t) en t=10t=10:

f′(10)=−ln⁡(2)3⋅(12)1030=−ln⁡(2)3⋅(12)13f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}
f′(10)=−ln⁡(2)323f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}}

Ahora, sustituimos f(10)f(10) y f′(10)f'(10) en la ecuación de la recta tangente:

y−1023=−ln⁡(2)323(t−10)y - \frac{10}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10)

La ecuación de la recta tangente es:

y=−ln⁡(2)323(t−10)+1023y = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10) + \frac{10}{\sqrt[3]{2}}
c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Asíntotas verticales:La función f(t)=10⋅(12)t30f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} es una función exponencial continua definida para t≥0t \geq 0. No presenta puntos de discontinuidad ni valores donde el denominador se anule (no tiene denominador) o argumentos de logaritmos se hagan cero o negativos. Por lo tanto, no tiene asíntotas verticales.Asíntotas horizontales:Las asíntotas horizontales se buscan calculando el límite de la función cuando t→∞t \to \infty. Dado que el dominio es t≥0t \geq 0, solo consideramos t→∞t \to \infty.

lim⁡t→∞f(t)=lim⁡t→∞10⋅(12)t30\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

A medida que t→∞t \to \infty, el exponente t30→∞\frac{t}{30} \to \infty. Como la base de la potencia es 12\frac{1}{2} (que está entre 0 y 1), la potencia tiende a 0:

lim⁡t→∞(12)t30=0\lim_{t \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 0

Por lo tanto:

lim⁡t→∞f(t)=10⋅0=0\lim_{t \to \infty} f(t) = 10 \cdot 0 = 0

La función tiene una asíntota horizontal en y=0y=0 (el eje tt) cuando t→∞t \to \infty.