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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
D2-b
Examen
b) Una muestra de 5⋅10−3 kg5 \cdot 10^{-3} \text{ kg} de 84210Po^{210}_{84}\text{Po} se reduce a 1,25⋅10−3 kg1,25 \cdot 10^{-3} \text{ kg} en 276276 días. Calcule: i) el período de semidesintegración de este isótopo; ii) la actividad inicial de la muestra; iii) el número de núcleos que quedan por desintegrar al cabo de 4646 días.

Datos: m(84210Po)=209,982874 um(^{210}_{84}\text{Po}) = 209,982874 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Física nuclearDesintegraciónActividad radiactiva
i) El período de semidesintegración de este isótopo.

La ley de desintegración radiactiva para la masa de una muestra es:

m(t)=m0(12)t/Tm(t) = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

Donde m0m_0 es la masa inicial, m(t)m(t) es la masa en el tiempo tt, y TT es el período de semidesintegración.Sustituyendo los valores dados:

1,25⋅10−3 kg=5⋅10−3 kg(12)276 dıˊas/T1,25 \cdot 10^{-3} \text{ kg} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ kg} \left(\frac{1}{2}\right)^{276 \text{ días}/T}
1,25⋅10−35⋅10−3=(12)276/T\frac{1,25 \cdot 10^{-3}}{5 \cdot 10^{-3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{276/T}
0,25=(12)276/T0,25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{276/T}
14=(12)276/T\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{276/T}
(12)2=(12)276/T\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{276/T}

Igualando los exponentes:

2=276T2 = \frac{276}{T}
T=276 dıˊas2=138 dıˊasT = \frac{276 \text{ días}}{2} = 138 \text{ días}
ii) La actividad inicial de la muestra.

La actividad AA de una muestra radiactiva se define como A=λNA = \lambda N, donde λ\lambda es la constante de desintegración y NN es el número de núcleos.Primero, calculamos la constante de desintegración λ\lambda a partir del período de semidesintegración TT:

λ=ln⁡2T\lambda = \frac{\ln 2}{T}

Convertimos TT a segundos:

T=138 dıˊas⋅24 h1 dıˊa⋅3600 s1 h=11923200 sT = 138 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 11923200 \text{ s}
λ=ln⁡211923200 s≈0,693111923200 s≈5,8135⋅10−8 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{11923200 \text{ s}} \approx \frac{0,6931}{11923200 \text{ s}} \approx 5,8135 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}

Luego, calculamos el número inicial de núcleos (N0N_0) en la muestra. Necesitamos la masa de un núcleo de 84210Po^{210}_{84}\text{Po}:

mnuˊcleo=209,982874 u⋅1,66⋅10−27kgu=3,4857⋅10−25 kgm_{\text{núcleo}} = 209,982874 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \frac{\text{kg}}{\text{u}} = 3,4857 \cdot 10^{-25} \text{ kg}

La masa inicial de la muestra es m0=5⋅10−3 kgm_0 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ kg}. Por lo tanto, el número inicial de núcleos es:

N0=m0mnuˊcleo=5⋅10−3 kg3,4857⋅10−25 kg/nuˊcleo≈1,4345⋅1022 nuˊcleosN_0 = \frac{m_0}{m_{\text{núcleo}}} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \text{ kg}}{3,4857 \cdot 10^{-25} \text{ kg/núcleo}} \approx 1,4345 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad inicial A0A_0:

A0=λN0=(5,8135⋅10−8 s−1)⋅(1,4345⋅1022 nuˊcleos)≈8,339⋅1014 BqA_0 = \lambda N_0 = (5,8135 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}) \cdot (1,4345 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}) \approx 8,339 \cdot 10^{14} \text{ Bq}
iii) El número de núcleos que quedan por desintegrar al cabo de 4646 días.

Utilizamos la ley de desintegración en función del número de núcleos:

N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}

El tiempo es t=46 dıˊast = 46 \text{ días}. Convertimos a segundos:

t=46 dıˊas⋅24 h1 dıˊa⋅3600 s1 h=3974400 st = 46 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 3974400 \text{ s}

Sustituimos N0N_0, λ\lambda y tt:

N(46 dıˊas)=(1,4345⋅1022)⋅e−(5,8135⋅10−8 s−1)⋅(3974400 s)N(46 \text{ días}) = (1,4345 \cdot 10^{22}) \cdot e^{-(5,8135 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}) \cdot (3974400 \text{ s})}
N(46 dıˊas)=(1,4345⋅1022)⋅e−0,23105N(46 \text{ días}) = (1,4345 \cdot 10^{22}) \cdot e^{-0,23105}
N(46 dıˊas)=(1,4345⋅1022)⋅(0,79366)N(46 \text{ días}) = (1,4345 \cdot 10^{22}) \cdot (0,79366)
N(46 dıˊas)≈1,138⋅1022 nuˊcleosN(46 \text{ días}) \approx 1,138 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}