T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2021

Operaciones con matrices

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Calcule

A^{40}

(A^t)^{30}

.b) Calcule

(A^{-1} + A)^2

.c) Resuelva la ecuación matricial

(A^t + I_2) \cdot X = A^t - I_2

Potencia de una matrizEcuación matricialInversa de una matriz

a) Calcule

A^{40}

(A^t)^{30}

Primero calculamos las primeras potencias de $A$ para encontrar un patrón:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

Se observa un patrón, que es $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -n & 1 \end{pmatrix}$ . Por lo tanto, para $n=40$ :

A^{40} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -40 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $(A^t)^{30}$ . Primero obtenemos la matriz traspuesta de $A$ :

A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos las primeras potencias de $A^t$ :

(A^t)^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(A^t)^3 = (A^t)^2 \cdot A^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

El patrón para $(A^t)^n$ es $(A^t)^n = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Por lo tanto, para $n=30$ :

(A^t)^{30} = \begin{pmatrix} 1 & -30 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

b) Calcule

(A^{-1} + A)^2

Primero calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ . El determinante de $A$ es $\text{det}(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) = 1$ .La adjunta de $A$ es $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -0 \\ -(-1) & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .La inversa de $A$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la suma $A^{-1} + A$ :

A^{-1} + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0+0 \\ 1-1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2

Finalmente, calculamos $(A^{-1} + A)^2$ :

(A^{-1} + A)^2 = (2I_2)^2 = (2I_2)(2I_2) = 4I_2^2 = 4I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

c) Resuelva la ecuación matricial

(A^t + I_2) \cdot X = A^t - I_2

Primero calculamos los términos de la ecuación. $A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .Calculamos $A^t + I_2$ :

A^t + I_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

Calculamos $A^t - I_2$ :

A^t - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

La ecuación matricial es $B \cdot X = C$ , donde $B = A^t + I_2$ y $C = A^t - I_2$ . Tenemos $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .Para resolver $X = B^{-1}C$ , necesitamos calcular la inversa de $B$ . El determinante de $B$ es $\text{det}(B) = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0 = 4$ .La adjunta de $B$ es $\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -(-1) \\ -0 & 2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .La inversa de $B$ es:

B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = B^{-1} \cdot C$ :

X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1/2)\cdot 0 + 0\cdot 0 & (1/2)\cdot (-1) + 0\cdot 0 \\ (1/4)\cdot 0 + (1/2)\cdot 0 & (1/4)\cdot (-1) + (1/2)\cdot 0 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}