Para la función $f(x) = (-7 + x^2)^3 \cdot e^{5-x}$, aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$. Primero, calculamos las derivadas de $u(x) = (-7 + x^2)^3$ y $v(x) = e^{5-x}$. Utilizando la regla de la cadena, la derivada de $u(x)$ es $u'(x) = 3(-7 + x^2)^2 \cdot (2x) = 6x(-7 + x^2)^2$. Para $v(x)$, aplicando la regla de la cadena, su derivada es $v'(x) = e^{5-x} \cdot (-1) = -e^{5-x}$. Sustituyendo en la regla del producto, obtenemos: $f'(x) = 6x(-7 + x^2)^2 e^{5-x} + (-7 + x^2)^3 (-e^{5-x})$ Sacando factor común $e^{5-x}(-7 + x^2)^2$:

Para la función $g(x) = \frac{\ln(x^4-2x^2)}{8-x^3}$, aplicamos la regla del cociente $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Calculamos las derivadas de $u(x) = \ln(x^4-2x^2)$ y $v(x) = 8-x^3$. Utilizando la regla de la cadena, la derivada de $u(x)$ es $u'(x) = \frac{4x^3-4x}{x^4-2x^2}$. La derivada de $v(x)$ es $v'(x) = -3x^2$. Sustituyendo en la regla del cociente, obtenemos:

Simplificando la expresión de la derivada:

Para calcular el área, primero encontramos los puntos de intersección entre la recta $y = -2x + 6$ y la parábola $y = -x^2 + 2x + 3$. Igualamos las ecuaciones:

Reorganizamos la ecuación para formar una ecuación cuadrática:

Factorizando o usando la fórmula cuadrática, encontramos los puntos de intersección en $x=1$ y $x=3$.Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $[1, 3]$, elegimos un punto de prueba, por ejemplo $x=2$: Para la recta: $y(-2) = -2(2) + 6 = 2$. Para la parábola: $y_p(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3$. Como $y_p(2) > y_r(2)$, la parábola está por encima de la recta en el intervalo $[1, 3]$.El área se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo de intersección:

Calculamos la antiderivada de la función integrada:

Evaluamos la antiderivada en los límites de integración:

El área de la región acotada es $\frac{4}{3}$ unidades cuadradas.