T1: Matrices y determinantes · Propiedades de Determinantes y Ecuaciones

Propiedades de Determinantes y Ecuaciones

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Sabiendo que una matriz

X

verifica que

X^3AX = B^2

, halla los posibles valores de su determinante.b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^2YB^{-1} = A

DeterminantesEcuaciones matricialesPropiedades

a) Sabiendo que una matriz

X

verifica que

X^3AX = B^2

, halla los posibles valores de su determinante.

Primero, calculamos los determinantes de las matrices $A$ y $B$ .

\det(A) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1

\det(B) = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = (2)(0) - (1)(2) = 0 - 2 = -2

Dada la ecuación matricial $X^3AX = B^2$ , aplicamos la propiedad del determinante $\det(MN) = \det(M)\det(N)$ a ambos lados de la ecuación.

\det(X^3AX) = \det(B^2)

\det(X^3) \det(A) \det(X) = (\det(B))^2

Sabiendo que $\det(X^k) = (\det(X))^k$ , la ecuación se convierte en:

(\det(X))^3 \det(A) \det(X) = (\det(B))^2

(\det(X))^4 \det(A) = (\det(B))^2

Sustituimos los valores de los determinantes que calculamos:

(\det(X))^4 (1) = (-2)^2

(\det(X))^4 = 4

Para hallar los posibles valores de $\det(X)$ , tomamos la raíz cuarta:

\det(X) = \pm \sqrt[4]{4} = \pm \sqrt[4]{2^2} = \pm \sqrt{2}

Los posibles valores del determinante de $X$ son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ .

b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^2YB^{-1} = A

Para despejar $Y$ de la ecuación $A^2YB^{-1} = A$ , necesitamos multiplicar por las inversas de $A^2$ y $B^{-1}$ . Primero, verificamos si las matrices $A$ y $B$ son invertibles. Dado que $\det(A) = 1 \neq 0$ y $\det(B) = -2 \neq 0$ , ambas matrices son invertibles, y por lo tanto, sus potencias y sus inversas también existen.Multiplicamos por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda:

(A^2)^{-1} A^2 Y B^{-1} = (A^2)^{-1} A

I Y B^{-1} = A^{-2} A

Y B^{-1} = A^{-1}

Ahora, multiplicamos por $B$ por la derecha:

Y B^{-1} B = A^{-1} B

Y I = A^{-1} B

Y = A^{-1} B

Calculamos la inversa de $A$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $Y = A^{-1}B$ :

Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} (2)(2) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(0) \\ (-1)(2) + (1)(2) & (-1)(1) + (1)(0) \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 + 0 \\ -2 + 2 & -1 + 0 \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

La matriz $Y$ que verifica la ecuación es:

Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}