T1: Interacción gravitatoria · Órbitas — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2017

Órbitas

Teoría

2017 · Extraordinaria · Reserva

1B-a

a) Dos satélites de igual masa se encuentran en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de la Luna, respectivamente. ¿Tienen el mismo periodo orbital? ¿Y la misma energía cinética? Razone las respuestas.

satélitesperiodo orbitalenergía cinética

Satélites en órbita: Periodo y Energía Cinética

Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de un cuerpo de masa $M$ , la condición de órbita circular exige que la fuerza gravitatoria proporcione la fuerza centrípeta necesaria:

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r

a) Periodo orbital

Usando $\omega = \frac{2\pi}{T}$ y la condición de órbita circular:

\frac{GM}{r^2} = \omega^2 r \implies T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

El periodo depende del radio orbital $r$ y de la masa del cuerpo central $M$ . Como la masa de la Tierra ( $M_T$ ) y la masa de la Luna ( $M_L$ ) son distintas ( $M_T \approx 81 \cdot M_L$ ), aunque el radio orbital $r$ sea el mismo en ambos casos, los periodos serán diferentes:

T_T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}} \qquad T_L = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_L}}

Dado que $M_T > M_L$ , se cumple que $T_T < T_L$ . El satélite en órbita alrededor de la Tierra tarda menos en completar una vuelta. Por tanto, los periodos NO son iguales.

b) Energía cinética

De la condición de órbita circular se obtiene la velocidad orbital:

\frac{GM}{r} = v^2 \implies E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}

La energía cinética depende igualmente de la masa del cuerpo central $M$ . Para el mismo radio $r$ y la misma masa del satélite $m$ :

E_{c,T} = \frac{GM_T m}{2r} \qquad E_{c,L} = \frac{GM_L m}{2r}

Como $M_T \neq M_L$ , las energías cinéticas tampoco son iguales. El satélite orbitando la Tierra tiene mayor energía cinética, ya que $M_T > M_L$ implica $E_{c,T} > E_{c,L}$ .

Conclusión

Ni el periodo orbital ni la energía cinética son iguales para ambos satélites. Aunque el radio orbital y la masa de los satélites coincidan, lo que determina ambas magnitudes es la masa del cuerpo central, que es muy diferente en la Tierra y en la Luna. El satélite en órbita terrestre tiene mayor velocidad, mayor energía cinética y menor periodo que el satélite en órbita lunar a igual radio.