Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de $f(x)$.

Ahora, encontramos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero:

Esto nos da dos puntos críticos: $x = 0$ y $x = 3$. Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ y $(3, \infty)$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo.* En $(-\infty, 0)$, por ejemplo, para $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^2(3 - (-1)) = 4(1)(4) = 16 > 0$. La función es creciente.* En $(0, 3)$, por ejemplo, para $x = 1$: $f'(1) = 4(1)^2(3 - 1) = 4(1)(2) = 8 > 0$. La función es creciente.* En $(3, \infty)$, por ejemplo, para $x = 4$: $f'(4) = 4(4)^2(3 - 4) = 4(16)(-1) = -64 < 0$. La función es decreciente.Por lo tanto:La función $f(x)$ es creciente en los intervalos $(-\infty, 0]$ y $[0, 3]$, lo que se puede expresar como $(-\infty, 3]$.La función $f(x)$ es decreciente en el intervalo $[3, \infty)$.

Para esbozar la gráfica, identificamos los puntos de corte con el eje de abscisas, los límites en el infinito y los extremos relativos.* Cortes con el eje $OX$ (donde $f(x) = 0$):

Los puntos de corte son $x = 0$ (con multiplicidad 3) y $x = 4$. Por tanto, la gráfica pasa por $(0,0)$ y $(4,0)$.* Corte con el eje $OY$ (donde $x = 0$): $f(0) = 4(0)^3 - (0)^4 = 0$. La gráfica pasa por $(0,0)$.* Límites en el infinito:

* Extremos relativos (a partir del apartado a)): En $x=0$, $f'(x)$ no cambia de signo (de creciente a creciente), por lo que es un punto de inflexión con tangente horizontal (silla de montar). $f(0)=0$.En $x=3$, la función pasa de creciente a decreciente, por lo que hay un máximo relativo. $f(3) = 4(3)^3 - (3)^4 = 4(27) - 81 = 108 - 81 = 27$. El máximo está en $(3, 27)$.Esbozo de la gráfica: La gráfica comienza desde $-\infty$, sube hasta el origen $(0,0)$ donde tiene una tangente horizontal (punto de inflexión), continúa subiendo hasta el máximo local en $(3,27)$, y luego desciende, cruza el eje $OX$ en $(4,0)$ y continúa hacia $-\infty$.Cálculo del área: El recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas se encuentra entre los puntos de corte $x = 0$ y $x = 4$. En este intervalo, $f(x) = x^3(4-x)$ es no negativa ($x^3 \ge 0$ y $4-x \ge 0$ para $x \in [0,4]$), por lo tanto, el área se calcula mediante la integral definida:

Calculamos la antiderivada:

Ahora evaluamos la integral definida:

El área del recinto es $\frac{256}{5}$ unidades de área.