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T5: Física moderna
Efecto fotoeléctrico
Problema
2016 · Extraordinaria · Reserva
4B-a
Examen

El trabajo de extracción del cátodo metálico en una célula fotoeléctrica es 1,32 eV1,32 \text{ eV}. Sobre él incide radiación de longitud de onda λ=300 nm\lambda = 300 \text{ nm}.

a) Defina y calcule la frecuencia umbral para esta célula fotoeléctrica. Determine la velocidad máxima con la que son emitidos los electrones.

Datos: h=6,6⋅10−34 J⋅s;c=3⋅108 m/s;e=1,6⋅10−19 C;me=9,1⋅10−31 kgh = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} ; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} ; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} ; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Trabajo de extracciónFrecuencia umbralVelocidad máxima
Efecto fotoeléctrico

Datos del problema:Trabajo de extracción: W0=1,32 eV=1,32×1,6⋅10−19 J=2,112⋅10−19 JW_0 = 1{,}32 \text{ eV} = 1{,}32 \times 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 2{,}112 \cdot 10^{-19} \text{ J} Longitud de onda incidente: λ=300 nm=3⋅10−7 m\lambda = 300 \text{ nm} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ m}

a) Frecuencia umbral y velocidad máxima de los electrones emitidos
Frecuencia umbral

La frecuencia umbral ν0\nu_0 (o frecuencia mínima) es la frecuencia mínima que debe tener la radiación incidente para que se produzca el efecto fotoeléctrico, es decir, para que los fotones tengan exactamente la energía necesaria para arrancar un electrón del metal sin que este adquiera energía cinética. Se define como:

W0=h⋅ν0  ⟹  ν0=W0hW_0 = h \cdot \nu_0 \implies \nu_0 = \frac{W_0}{h}

Sustituyendo los valores:

ν0=2,112⋅10−19 J6,6⋅10−34 J⋅s=3,2⋅1014 Hz\nu_0 = \frac{2{,}112 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{6{,}6 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} = 3{,}2 \cdot 10^{14} \text{ Hz}
Velocidad máxima de los electrones emitidos

Primero calculamos la frecuencia de la radiación incidente:

ν=cλ=3⋅108 m/s3⋅10−7 m=1⋅1015 Hz\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \cdot 10^{8} \text{ m/s}}{3 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 1 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

Como ν=1015 Hz>ν0=3,2⋅1014 Hz\nu = 10^{15} \text{ Hz} > \nu_0 = 3{,}2 \cdot 10^{14} \text{ Hz}, la radiación produce efecto fotoeléctrico. Aplicando la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

h⋅ν=W0+Ecmax⁡=W0+12mevmax⁡2h \cdot \nu = W_0 + E_{c_{\max}} = W_0 + \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2

Despejando la velocidad máxima:

vmax⁡=2(h⋅ν−W0)mev_{\max} = \sqrt{\frac{2(h \cdot \nu - W_0)}{m_e}}

Calculamos la energía del fotón incidente:

h⋅ν=6,6⋅10−34×1015=6,6⋅10−19 Jh \cdot \nu = 6{,}6 \cdot 10^{-34} \times 10^{15} = 6{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Calculamos la energía cinética máxima:

Ecmax⁡=h⋅ν−W0=6,6⋅10−19−2,112⋅10−19=4,488⋅10−19 JE_{c_{\max}} = h \cdot \nu - W_0 = 6{,}6 \cdot 10^{-19} - 2{,}112 \cdot 10^{-19} = 4{,}488 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Finalmente, obtenemos la velocidad máxima:

vmax⁡=2×4,488⋅10−199,1⋅10−31=8,976⋅10−199,1⋅10−31=9,864⋅1011≈9,93⋅105 m/sv_{\max} = \sqrt{\frac{2 \times 4{,}488 \cdot 10^{-19}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{8{,}976 \cdot 10^{-19}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{9{,}864 \cdot 10^{11}} \approx 9{,}93 \cdot 10^{5} \text{ m/s}

La velocidad máxima con la que son emitidos los electrones es vmax⁡≈9,93⋅105 m/sv_{\max} \approx 9{,}93 \cdot 10^{5} \text{ m/s}.