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T1: Matrices y determinantes
Rango y sistemas
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
5
Examen

Considera la matriz A=(202−121014)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

a) Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden tres.b) Resuelve el sistema (A−I)(xyz)=(000)(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} y halla, si existe, una solución en la que x=2x = 2.
MatricesRangoSistemas homogéneos
a) Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden tres.

La matriz A−λIA - \lambda I se obtiene restando λ\lambda de los elementos de la diagonal principal de AA:

A−λI=(202−121014)−λ(100010001)=(2−λ02−12−λ1014−λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 2 \\ -1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}

Para estudiar el rango, calculamos el determinante de A−λIA - \lambda I:

det⁡(A−λI)=∣2−λ02−12−λ1014−λ∣\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 2 \\ -1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4-\lambda \end{vmatrix}
= (2-\lambda)[(2-\lambda)(4-\lambda) - 1(1)] - 0[\dots] + 2[-1(1) - 0(2-\lambda)]
= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 8 - 1) + 2(-1)
= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 7) - 2
=2λ2−12λ+14−λ3+6λ2−7λ−2= 2\lambda^2 - 12\lambda + 14 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 7\lambda - 2
=−λ3+8λ2−19λ+12= -\lambda^3 + 8\lambda^2 - 19\lambda + 12

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de λ\lambda para los cuales el rango es menor que 3:

−λ3+8λ2−19λ+12=0-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 19\lambda + 12 = 0

Probando divisores del término independiente (12), encontramos que λ=1\lambda=1 es una raíz:

−(1)3+8(1)2−19(1)+12=−1+8−19+12=0-(1)^3 + 8(1)^2 - 19(1) + 12 = -1 + 8 - 19 + 12 = 0

Realizamos la división polinómica por (λ−1)(\lambda - 1) (o por Ruffini):

−(λ3−8λ2+19λ−12)=−(λ−1)(λ2−7λ+12)=0-(\lambda^3 - 8\lambda^2 + 19\lambda - 12) = -(\lambda - 1)(\lambda^2 - 7\lambda + 12) = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática λ2−7λ+12=0\lambda^2 - 7\lambda + 12 = 0:

λ=−(−7)±(−7)2−4(1)(12)2(1)\lambda = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}
λ=7±49−482\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}
λ=7±12\lambda = \frac{7 \pm 1}{2}

Obtenemos λ1=7+12=4\lambda_1 = \frac{7+1}{2} = 4 y λ2=7−12=3\lambda_2 = \frac{7-1}{2} = 3.Por lo tanto, los valores de λ\lambda que hacen que el determinante sea cero son λ=1,3,4\lambda = 1, 3, 4.Estudio del rango según los valores de λ\lambda:Caso 1: Si λ≠1,3,4\lambda \neq 1, 3, 4.En este caso, det⁡(A−λI)≠0\det(A - \lambda I) \neq 0, por lo tanto, el rango de A−λIA - \lambda I es 3.Caso 2: Si λ=1\lambda = 1.La matriz es:

A−I=(102−111013)A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Su determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2. Por ejemplo:

∣10−11∣=1(1)−0(−1)=1≠0\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(-1) = 1 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de A−IA - I es 2.Caso 3: Si λ=3\lambda = 3.La matriz es:

A−3I=(−102−1−11011)A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Su determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2. Por ejemplo:

∣−10−1−1∣=(−1)(−1)−0(−1)=1≠0\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - 0(-1) = 1 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de A−3IA - 3I es 2.Caso 4: Si λ=4\lambda = 4.La matriz es:

A−4I=(−202−1−21010)A - 4I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Su determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2. Por ejemplo:

∣−20−1−2∣=(−2)(−2)−0(−1)=4≠0\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - 0(-1) = 4 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de A−4IA - 4I es 2.

b) Resuelve el sistema (A−I)(xyz)=(000)(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} y halla, si existe, una solución en la que x=2x = 2.

Para resolver el sistema, primero construimos la matriz A−IA - I, que ya hemos calculado en el apartado anterior para λ=1\lambda = 1:

A−I=(102−111013)A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

El sistema de ecuaciones lineales homogéneo es el siguiente:

{x+2z=0−x+y+z=0y+3z=0\begin{cases} x + 2z = 0 \\ -x + y + z = 0 \\ y + 3z = 0 \end{cases}

De la primera ecuación, despejamos xx en términos de zz: x=−2zx = -2z.De la tercera ecuación, despejamos yy en términos de zz: y=−3zy = -3z.Sustituimos estas expresiones en la segunda ecuación:

−(−2z)+(−3z)+z=0-(-2z) + (-3z) + z = 0
2z−3z+z=02z - 3z + z = 0
0=00 = 0

Esto indica que el sistema es compatible indeterminado, como se esperaba dado que el rango de A−IA-I es 2 (menor que el número de incógnitas, 3).Las soluciones generales son, si tomamos z=αz = \alpha (con α∈R\alpha \in \mathbb{R} un parámetro):

{x=−2αy=−3αz=α\begin{cases} x = -2\alpha \\ y = -3\alpha \\ z = \alpha \end{cases}

Ahora, buscamos una solución en la que x=2x = 2. Sustituimos este valor en la expresión de xx:

2=−2α2 = -2\alpha

Despejando α\alpha, obtenemos:

α=−1\alpha = -1

Sustituimos α=−1\alpha = -1 en las expresiones para yy y zz:

y=−3(−1)=3y = -3(-1) = 3
z=−1z = -1

Por lo tanto, la solución particular para x=2x=2 es:

(xyz)=(23−1)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}