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T3: Vibraciones y ondas
Ondas electromagnéticas
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
3-b
Examen
b) Una onda electromagnética de frecuencia 2⋅1015 Hz2 \cdot 10^{15} \text{ Hz} se propaga en el vacío en el sentido negativo del eje OX. El campo eléctrico tiene una amplitud de 2 V⋅m−12 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1} y oscila en el eje OY. Calcule: i) La longitud de onda y escriba la ecuación de la onda para el campo eléctrico. ii) La amplitud del campo magnético y deduzca la dirección de oscilación del mismo.

Dato: c=3⋅108 m/sc = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}

Ondas electromagnéticasEcuación de onda
b) i) La longitud de onda y la ecuación de la onda para el campo eléctrico.

La velocidad de propagación de una onda electromagnética en el vacío, cc, se relaciona con su longitud de onda, λ\lambda, y su frecuencia, ff, mediante la expresión:

c=λfc = \lambda f

Despejamos la longitud de onda:

λ=cf\lambda = \frac{c}{f}

Sustituyendo los valores dados:

λ=3⋅108 m/s2⋅1015 Hz=1.5⋅10−7 m\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{2 \cdot 10^{15} \text{ Hz}} = 1.5 \cdot 10^{-7} \text{ m}

Para escribir la ecuación de la onda del campo eléctrico, necesitamos la frecuencia angular ω\omega y el número de onda kk. La frecuencia angular se calcula como:

ω=2πf\omega = 2\pi f

Sustituyendo la frecuencia:

ω=2π(2⋅1015 Hz)=4π⋅1015 rad/s\omega = 2\pi (2 \cdot 10^{15} \text{ Hz}) = 4\pi \cdot 10^{15} \text{ rad/s}

El número de onda kk se relaciona con la longitud de onda λ\lambda o la frecuencia angular ω\omega y la velocidad cc:

k=2πλ=ωck = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}

Usando la segunda expresión:

k=4π⋅1015 rad/s3⋅108 m/s=4π3⋅107 m−1k = \frac{4\pi \cdot 10^{15} \text{ rad/s}}{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}} = \frac{4\pi}{3} \cdot 10^7 \text{ m}^{-1}

La onda se propaga en el sentido negativo del eje OX, por lo que el argumento de la función coseno o seno será de la forma (kx+ωt)(kx + \omega t). El campo eléctrico oscila en el eje OY, por lo que su dirección es j^\hat{j}. La ecuación general para el campo eléctrico (asumiendo fase inicial nula) es:

E⃗(x,t)=E0cos⁡(kx+ωt)j^\vec{E}(x,t) = E_0 \cos(kx + \omega t) \hat{j}

Sustituyendo los valores de E0E_0, kk y ω\omega:

E⃗(x,t)=(2 V/m)cos⁡((4π3⋅107 m−1)x+(4π⋅1015 rad/s)t)j^\vec{E}(x,t) = (2 \text{ V/m}) \cos\left(\left(\frac{4\pi}{3} \cdot 10^7 \text{ m}^{-1}\right)x + (4\pi \cdot 10^{15} \text{ rad/s})t\right) \hat{j}
b) ii) La amplitud del campo magnético y la dirección de oscilación del mismo.

La amplitud del campo magnético, B0B_0, está relacionada con la amplitud del campo eléctrico, E0E_0, y la velocidad de la luz en el vacío, cc, mediante la expresión:

E0=cB0E_0 = c B_0

Despejamos B0B_0:

B0=E0cB_0 = \frac{E_0}{c}

Sustituyendo los valores:

B0=2 V/m3⋅108 m/s=23⋅10−8 T≈6.67⋅10−9 TB_0 = \frac{2 \text{ V/m}}{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}} = \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} \text{ T} \approx 6.67 \cdot 10^{-9} \text{ T}

Para deducir la dirección de oscilación del campo magnético, utilizamos la propiedad de que la dirección de propagación de una onda electromagnética está dada por la dirección del vector de Poynting, que es paralela al producto vectorial E⃗×B⃗\vec{E} \times \vec{B}. Datos: Dirección de propagación (velocidad): Sentido negativo del eje OX, es decir, −i^-\hat{i}. Dirección de oscilación del campo eléctrico: Eje OY, es decir, j^\hat{j}. Por lo tanto, se debe cumplir que la dirección de propagación sea E^×B^\hat{E} \times \hat{B}:

(−i^)=j^×B^(-\hat{i}) = \hat{j} \times \hat{B}

Recordando las propiedades del producto vectorial, sabemos que j^×k^=i^\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}. Para obtener −i^-\hat{i}, el vector B^\hat{B} debe ser −k^-\hat{k}.

j^×(−k^)=−(j^×k^)=−i^\hat{j} \times (-\hat{k}) = -(\hat{j} \times \hat{k}) = -\hat{i}

Esto significa que el campo magnético oscila en el sentido negativo del eje OZ.