T5: Integrales · Integrales indefinidas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2022

Integrales indefinidas

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Calcula

\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx

Integración racionalPrimitiva

Para calcular la integral de una función racional en la que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, primero realizamos la división polinómica.

1. División Polinómica

Dividimos el numerador $P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 7$ entre el denominador $D(x) = x^2 + x - 2$ .

\begin{array}{r} 2x \\ \cline{2-2} x^2+x-2 \Large| 2x^3 + 2x^2 - 2x + 7 \\ - (2x^3 + 2x^2 - 4x) \\ \cline{2-2} \rule{0pt}{1ex} \hspace{1cm} 2x + 7 \end{array}

El cociente es $2x$ y el resto es $2x+7$ . Por lo tanto, la expresión se puede reescribir como:

\frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} = 2x + \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2}

2. Descomposición en Fracciones Simples

Ahora descomponemos la fracción restante en fracciones simples. Primero factorizamos el denominador:

x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)

Planteamos la descomposición:

\frac{2x + 7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}

Multiplicando ambos lados por $(x+2)(x-1)$ :

2x + 7 = A(x-1) + B(x+2)

Para hallar $A$ y $B$ , sustituimos valores de $x$ :

x=1

2(1) + 7 = A(1-1) + B(1+2) \\ 9 = 3B \\ B = 3

x=-2

2(-2) + 7 = A(-2-1) + B(-2+2) \\ 3 = -3A \\ A = -1

Así, la fracción descompuesta es:

\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}

3. Integración

Finalmente, integramos la expresión original descompuesta:

\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( 2x - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1} \right) dx

Cada término se integra por separado:

\int 2x \, dx = x^2

\int -\frac{1}{x+2} \, dx = -\ln|x+2|

\int \frac{3}{x-1} \, dx = 3\ln|x-1|

Sumando las integrales y añadiendo la constante de integración $C$ :

\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = x^2 - \ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C