Primero, expresamos las rectas $r$ y $s$ en su forma paramétrica o vectorial para obtener un punto y un vector director de cada una.

La recta $r \equiv x = 1 - y = z$ se puede escribir como:

Si tomamos $z = \lambda$, las ecuaciones paramétricas son:

Un punto de la recta $r$ es $P_r = (0, 1, 0)$ (para $\lambda = 0$).Un vector director de la recta $r$ es $\vec{d_r} = (1, -1, 1)$.

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos:

El vector director de $s$, $\vec{d_s}$, es perpendicular a los vectores normales de ambos planos. Por tanto, se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales:

Un vector director para $s$ es $\vec{d_s} = (-2, -10, -4)$, que podemos simplificar a $\vec{d_s} = (1, 5, 2)$.Para hallar un punto de la recta $s$, fijamos una de las coordenadas, por ejemplo $z=0$:

Sumando ambas ecuaciones: $4x = 2 \implies x = 1/2$.Sustituyendo $x$ en la primera ecuación: $1/2 + y = 4 \implies y = 4 - 1/2 = 7/2$.Un punto de la recta $s$ es $P_s = (1/2, 7/2, 0)$.

Tenemos los puntos $P_r = (0, 1, 0)$ y $P_s = (1/2, 7/2, 0)$, y los vectores directores $\vec{d_r} = (1, -1, 1)$ y $\vec{d_s} = (1, 5, 2)$.Primero, comprobamos si los vectores directores son paralelos. Es decir, si existe un escalar $k$ tal que $\vec{d_r} = k \vec{d_s}$:

Estas igualdades no se cumplen para un mismo valor de $k$ (de la primera $k=1$, de la segunda $k=-1/5$). Por lo tanto, los vectores $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$ no son paralelos, lo que significa que las rectas $r$ y $s$ no son paralelas ni coincidentes.Para determinar si se cruzan o se cortan, calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$ y el determinante de la matriz formada por los tres vectores $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y $\vec{P_r P_s}$.

Dado que el determinante es distinto de cero ($-6 \neq 0$), las rectas $r$ y $s$ se cruzan (son alabeadas).

Un plano $\pi$ que contiene a la recta $s$ tiene como vector director a $\vec{d_s}$ y contiene al punto $P_s$.Si el plano $\pi$ es paralelo a la recta $r$, entonces el vector director $\vec{d_r}$ también es un vector director del plano.Por lo tanto, el plano $\pi$ está definido por el punto $P_s = (1/2, 7/2, 0)$ y los vectores directores $\vec{d_s} = (1, 5, 2)$ y $\vec{d_r} = (1, -1, 1)$.La ecuación general del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $(x, y, z)$, el punto $P_s$, y los dos vectores directores:

La ecuación del plano es $7x + y - 6z - 7 = 0$.