AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Geometría
Triángulos en el espacio
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
7
Examen

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0,2,3)A(0, 2, 3), B(m,0,1)B(m, 0, 1) y C(2,1,2)C(2, 1, 2).

a) Halla los valores de mm, sabiendo que el área del triángulo es 182\frac{\sqrt{18}}{2} unidades cuadradas.b) Para m=0m = 0, calcula el coseno del ángulo en el vértice AA de dicho triángulo.
Área de triánguloProducto vectorialCoseno de ángulo
a) Halla los valores de mm, sabiendo que el área del triángulo es 182\frac{\sqrt{18}}{2} unidades cuadradas.

Dados los vértices A(0,2,3)A(0, 2, 3), B(m,0,1)B(m, 0, 1) y C(2,1,2)C(2, 1, 2), calculamos los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}:

AB⃗=B−A=(m−0,0−2,1−3)=(m,−2,−2)\vec{AB} = B - A = (m - 0, 0 - 2, 1 - 3) = (m, -2, -2)
AC⃗=C−A=(2−0,1−2,2−3)=(2,−1,−1)\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 1 - 2, 2 - 3) = (2, -1, -1)

El área del triángulo se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.

AB⃗×AC⃗=∣ijkm−2−22−1−1∣\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}
=i((−2)(−1)−(−2)(−1))−j((m)(−1)−(−2)(2))+k((m)(−1)−(−2)(2))= \mathbf{i}((-2)(-1) - (-2)(-1)) - \mathbf{j}((m)(-1) - (-2)(2)) + \mathbf{k}((m)(-1) - (-2)(2))
=i(2−2)−j(−m+4)+k(−m+4)= \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(-m + 4) + \mathbf{k}(-m + 4)
=(0,−(4−m),4−m)=(0,m−4,4−m)= (0, -(4-m), 4-m) = (0, m-4, 4-m)

Ahora calculamos el módulo del producto vectorial:

∣∣AB⃗×AC⃗∣∣=02+(m−4)2+(4−m)2||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{0^2 + (m-4)^2 + (4-m)^2}
=(m−4)2+(−(m−4))2=2(m−4)2=2∣m−4∣= \sqrt{(m-4)^2 + (-(m-4))^2} = \sqrt{2(m-4)^2} = \sqrt{2} |m-4|

El área del triángulo es 12∣∣AB⃗×AC⃗∣∣=122∣m−4∣\frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \frac{1}{2} \sqrt{2} |m-4|. Se nos da que el área es 182\frac{\sqrt{18}}{2}. Simplificamos esta expresión:

182=9⋅22=322\frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

Igualamos la expresión del área a la dada:

122∣m−4∣=322\frac{1}{2} \sqrt{2} |m-4| = \frac{3\sqrt{2}}{2}
2∣m−4∣=32\sqrt{2} |m-4| = 3\sqrt{2}
∣m−4∣=3|m-4| = 3

Esto nos da dos posibles valores para mm:

m−4=3⇒m=7m-4 = 3 \Rightarrow m = 7
m−4=−3⇒m=1m-4 = -3 \Rightarrow m = 1

Los valores de mm son 11 y 77.

b) Para m=0m = 0, calcula el coseno del ángulo en el vértice AA de dicho triángulo.

Para m=0m=0, los vértices son A(0,2,3)A(0, 2, 3), B(0,0,1)B(0, 0, 1) y C(2,1,2)C(2, 1, 2). Calculamos los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC} para m=0m=0:

AB⃗=(0,−2,−2)\vec{AB} = (0, -2, -2)
AC⃗=(2,−1,−1)\vec{AC} = (2, -1, -1)

El coseno del ángulo en el vértice AA se calcula usando la fórmula del producto escalar:

cos⁡A=AB⃗⋅AC⃗∣∣AB⃗∣∣⋅∣∣AC⃗∣∣\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}||}

Primero calculamos el producto escalar AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}:

AB⃗⋅AC⃗=(0)(2)+(−2)(−1)+(−2)(−1)=0+2+2=4\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(2) + (-2)(-1) + (-2)(-1) = 0 + 2 + 2 = 4

Luego, calculamos los módulos de los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}:

∣∣AB⃗∣∣=02+(−2)2+(−2)2=0+4+4=8=22||\vec{AB}|| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
∣∣AC⃗∣∣=22+(−1)2+(−1)2=4+1+1=6||\vec{AC}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

Finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula del coseno:

cos⁡A=4(22)(6)=4212\cos A = \frac{4}{(2\sqrt{2})(\sqrt{6})} = \frac{4}{2\sqrt{12}}
=424⋅3=42⋅23=443= \frac{4}{2\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{4}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}}
=13=33= \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}