T5: Probabilidad · Probabilidad condicional y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2021

Probabilidad condicional y Bayes

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE C

Un equipo andaluz de baloncesto jugó en una temporada un 40 % de los partidos en casa y el resto fuera. De los partidos que jugó en casa, obtuvo un 60 % de victorias y el resto fueron derrotas, mientras que de los que jugó fuera, obtuvo un 30 % de victorias y el resto derrotas. Se elige un partido de este equipo al azar.

a) Calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria.b) Calcule la probabilidad de que el partido haya sido jugado en casa, sabiendo que el resultado final fue una derrota.c) Si además se sabe que el 10 % de las victorias obtenidas en casa y el 20 % de las victorias obtenidas fuera se produjeron tras una prórroga, calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria y que además esa victoria haya sido tras una prórroga.

Teorema de la probabilidad totalTeorema de BayesProbabilidad condicional

Definimos los siguientes sucesos: $C$ : El partido se jugó en casa. $F$ : El partido se jugó fuera. $V$ : El partido acabó en victoria. $D$ : El partido acabó en derrota.Datos proporcionados por el problema:

P(C) = 0.40

P(F) = 1 - P(C) = 1 - 0.40 = 0.60

P(V|C) = 0.60

P(D|C) = 1 - P(V|C) = 1 - 0.60 = 0.40

P(V|F) = 0.30

P(D|F) = 1 - P(V|F) = 1 - 0.30 = 0.70

a) Calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria.

Utilizamos el teorema de la probabilidad total para calcular $P(V)$ :

P(V) = P(V|C)P(C) + P(V|F)P(F)

P(V) = (0.60)(0.40) + (0.30)(0.60)

P(V) = 0.24 + 0.18

P(V) = 0.42

b) Calcule la probabilidad de que el partido haya sido jugado en casa, sabiendo que el resultado final fue una derrota.

Primero, calculamos la probabilidad de que el partido acabase en derrota, $P(D)$ :

P(D) = P(D|C)P(C) + P(D|F)P(F)

P(D) = (0.40)(0.40) + (0.70)(0.60)

P(D) = 0.16 + 0.42

P(D) = 0.58

Alternativamente, $P(D) = 1 - P(V) = 1 - 0.42 = 0.58$ .Ahora, utilizamos el teorema de Bayes para calcular $P(C|D)$ :

P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}

P(C|D) = \frac{(0.40)(0.40)}{0.58}

P(C|D) = \frac{0.16}{0.58}

P(C|D) = \frac{16}{58} = \frac{8}{29} \approx 0.2759

c) Si además se sabe que el 10 % de las victorias obtenidas en casa y el 20 % de las victorias obtenidas fuera se produjeron tras una prórroga, calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria y que además esa victoria haya sido tras una prórroga.

Sea $P$ el suceso de que la victoria fue tras una prórroga. Los datos adicionales son:

P(P|V \cap C) = 0.10

P(P|V \cap F) = 0.20

Queremos calcular $P(V \cap P)$ . Esto se puede desglosar como la suma de las probabilidades de una victoria con prórroga en casa y una victoria con prórroga fuera:

P(V \cap P) = P(C \cap V \cap P) + P(F \cap V \cap P)

Calculamos las probabilidades de $V \cap C$ y $V \cap F$ :

P(V \cap C) = P(V|C)P(C) = (0.60)(0.40) = 0.24

P(V \cap F) = P(V|F)P(F) = (0.30)(0.60) = 0.18

Ahora, calculamos las probabilidades de $C \cap V \cap P$ y $F \cap V \cap P$ :

P(C \cap V \cap P) = P(P|V \cap C) \cdot P(V \cap C) = (0.10)(0.24) = 0.024

P(F \cap V \cap P) = P(P|V \cap F) \cdot P(V \cap F) = (0.20)(0.18) = 0.036

Finalmente, sumamos estas probabilidades para obtener $P(V \cap P)$ :

P(V \cap P) = 0.024 + 0.036 = 0.060