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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio
Problema
2016 · Extraordinaria · Suplente
3B-b
Examen

La masa de la Tierra es aproximadamente 8181 veces la masa de la Luna y la distancia entre sus centros es de 3,84⋅105 km3,84 \cdot 10^{5} \text{ km}.

b) Calcule la energía potencial de un satélite de 500 kg500 \text{ kg} situado en el punto medio del segmento que une los centros de la Tierra y la Luna.

Datos: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}; MT=6⋅1024 kgM_{T} = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg}

Energía potencial gravitatoria
b) Energía potencial del satélite en el punto medio entre la Tierra y la Luna.

Primero obtenemos la masa de la Luna a partir del dato MT=81⋅MLM_T = 81 \cdot M_L:

ML=MT81=6⋅102481≈7,41⋅1022 kgM_L = \frac{M_T}{81} = \frac{6 \cdot 10^{24}}{81} \approx 7{,}41 \cdot 10^{22} \text{ kg}

La distancia entre los centros es d=3,84⋅105 km=3,84⋅108 md = 3{,}84 \cdot 10^5 \text{ km} = 3{,}84 \cdot 10^8 \text{ m}, por lo que la distancia del satélite a cada cuerpo en el punto medio es:

r=d2=3,84⋅1082=1,92⋅108 mr = \frac{d}{2} = \frac{3{,}84 \cdot 10^8}{2} = 1{,}92 \cdot 10^8 \text{ m}

La energía potencial gravitatoria es un escalar, por lo que la energía potencial total del satélite es la suma de las contribuciones de la Tierra y la Luna:

Ep=−G⋅MT⋅mr−G⋅ML⋅mr=−G⋅mr(MT+ML)E_p = -\frac{G \cdot M_T \cdot m}{r} - \frac{G \cdot M_L \cdot m}{r} = -\frac{G \cdot m}{r}\left(M_T + M_L\right)

Sustituyendo los valores:

Ep=−6,67⋅10−11⋅5001,92⋅108⋅(6⋅1024+7,41⋅1022)E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 500}{1{,}92 \cdot 10^8} \cdot \left(6 \cdot 10^{24} + 7{,}41 \cdot 10^{22}\right)
Ep=−6,67⋅10−11⋅5001,92⋅108⋅(6,074⋅1024)E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 500}{1{,}92 \cdot 10^8} \cdot \left(6{,}074 \cdot 10^{24}\right)
Ep=−3,335⋅10−81,92⋅108⋅6,074⋅1024E_p = -\frac{3{,}335 \cdot 10^{-8}}{1{,}92 \cdot 10^8} \cdot 6{,}074 \cdot 10^{24}
Ep=−1,736⋅10−16⋅6,074⋅1024≈−1,054⋅109 JE_p = -1{,}736 \cdot 10^{-16} \cdot 6{,}074 \cdot 10^{24} \approx -1{,}054 \cdot 10^{9} \text{ J}

La energía potencial gravitatoria del satélite en el punto medio es aproximadamente Ep≈−1,05⋅109 JE_p \approx -1{,}05 \cdot 10^9 \text{ J}. El valor negativo indica que el satélite está ligado gravitatoriamente al sistema Tierra-Luna.