T5: Física moderna · Hipótesis de De Broglie y energía cinética

Hipótesis de De Broglie y energía cinética

Teoría

2026 · Extraordinaria · Titular

D-a2

a2) Discuta razonadamente si al reducir a la mitad la longitud de onda asociada de un electrón se duplica el valor de su energía cinética.

Longitud de onda de De BroglieElectrónEnergía cinética+1

a2) Para discutir la relación entre la longitud de onda asociada de un electrón y su energía cinética, utilizaremos la hipótesis de De Broglie y la expresión de la energía cinética.

La longitud de onda de De Broglie ( $\lambda$ ) asociada a una partícula de masa $m$ y velocidad $v$ (con cantidad de movimiento $p = mv$ ) viene dada por:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

donde $h$ es la constante de Planck.La energía cinética ( $E_c$ ) de una partícula se define como:

E_c = \frac{1}{2} mv^2

Para relacionar la energía cinética con la longitud de onda de De Broglie, podemos expresar la velocidad $v$ en términos de $\lambda$ y $h$ a partir de la primera ecuación:

v = \frac{h}{m\lambda}

Sustituimos esta expresión de $v$ en la fórmula de la energía cinética:

E_c = \frac{1}{2} m \left(\frac{h}{m\lambda}\right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{h^2}{m^2\lambda^2} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}

Esta ecuación muestra que la energía cinética es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de onda ( $\lambda^2$ ). Es decir, $E_c \propto \frac{1}{\lambda^2}$ .Ahora, si la longitud de onda asociada del electrón se reduce a la mitad, es decir, $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ , la nueva energía cinética ( $E_c'$ ) será:

E_c' = \frac{h^2}{2m(\lambda')^2} = \frac{h^2}{2m(\lambda/2)^2} = \frac{h^2}{2m(\lambda^2/4)} = \frac{4h^2}{2m\lambda^2}

Comparando con la energía cinética original ( $E_c = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ ), obtenemos:

E_c' = 4 \left(\frac{h^2}{2m\lambda^2}\right) = 4 E_c

Por lo tanto, al reducir a la mitad la longitud de onda asociada de un electrón, su energía cinética se CUADRUPLICA, no se duplica. La afirmación es incorrecta.