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Ondas estacionarias
Teoría
2018 · Extraordinaria · Reserva
3B-a
Examen
a) Defina, ayudándose de los esquemas precisos, los conceptos de onda estacionaria, vientre y nodo.
onda estacionariavientrenodo
a) Definición de onda estacionaria, vientre y nodo.
Onda Estacionaria

Una onda estacionaria se produce por la superposición de dos ondas de la misma frecuencia, misma amplitud y misma dirección de propagación, pero que se propagan en sentidos contrarios. Esto ocurre típicamente cuando una onda incidente se refleja en un extremo fijo y se superpone con la onda reflejada.Matemáticamente, si las dos ondas que se superponen son:

y1=Asin(kxωt)y2=Asin(kx+ωt)y_1 = A \sin(kx - \omega t) \qquad y_2 = A \sin(kx + \omega t)

La onda resultante, aplicando la propiedad de superposición, es:

y=y1+y2=2Asin(kx)cos(ωt)y = y_1 + y_2 = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)

Esta expresión representa una onda estacionaria: la parte espacial 2Asin(kx)2A\sin(kx) determina la amplitud en cada punto del espacio, y la parte temporal cos(ωt)\cos(\omega t) hace que todos los puntos oscilen en fase o en oposición de fase, pero ningún punto se propaga. La energía no se transporta; queda «atrapada» en la onda.A continuación se muestra el esquema de una onda estacionaria en una cuerda con extremos fijos, con sus nodos (N) y vientres (V):Representación esquemática de la onda estacionaria (modo fundamental y primer armónico): Modo fundamental (1 vientre, 2 nodos): N ——— V ——— N Primer armónico (2 vientres, 3 nodos): N — V — N — V — N

Nodo

Un nodo es un punto de la onda estacionaria cuya amplitud de oscilación es siempre nula; es decir, permanece en reposo en todo momento. Se producen en los puntos donde la amplitud espacial es cero:

2Asin(kxN)=0    kxN=nπ    xN=nλ2,n=0,1,2,2A \sin(kx_N) = 0 \implies kx_N = n\pi \implies x_N = n\dfrac{\lambda}{2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots

Los nodos están separados entre sí una distancia de λ/2\lambda/2. En una cuerda con extremos fijos, los extremos son siempre nodos.

Vientre

Un vientre (o antinodo) es un punto de la onda estacionaria donde la amplitud de oscilación es máxima (2A2A). Se producen en los puntos donde la amplitud espacial alcanza su valor máximo:

2Asin(kxV)=2A    kxV=(n+12)π    xV=(2n+1)λ4,n=0,1,2,|2A \sin(kx_V)| = 2A \implies kx_V = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \implies x_V = \left(2n+1\right)\dfrac{\lambda}{4}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots

Los vientres también están separados entre sí una distancia de λ/2\lambda/2, y se encuentran exactamente a λ/4\lambda/4 de cada nodo adyacente.Resumen esquemático de las posiciones relativas de nodos y vientres a lo largo de la onda estacionaria:

Nx=0λ/4Vx=λ/4λ/4Nx=λ/2λ/4Vx=3λ/4λ/4Nx=λ\underbrace{N}_{x=0} \xrightarrow{\lambda/4} \underbrace{V}_{x=\lambda/4} \xrightarrow{\lambda/4} \underbrace{N}_{x=\lambda/2} \xrightarrow{\lambda/4} \underbrace{V}_{x=3\lambda/4} \xrightarrow{\lambda/4} \underbrace{N}_{x=\lambda}

Donde N representa los nodos y V los vientres, separados alternativamente una distancia de λ/4\lambda/4.