T4: Funciones · Límites con parámetros — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2021

Límites con parámetros

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

EJERCICIO 1

Sabiendo que el límite

\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{\ln (x + 1)} - \frac{a}{x} \right)

es finito, calcula $a$ y el valor del límite ( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

LímitesIndeterminacionesRegla de L'Hôpital

Para calcular el valor de $a$ y el límite, primero combinamos las fracciones de la expresión:

L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{\ln (x + 1)} - \frac{a}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x(x + 1) - a \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} \right)

Sea $N(x) = x(x + 1) - a \ln (x + 1) = x^2 + x - a \ln (x + 1)$ y $D(x) = x \ln (x + 1)$ . Cuando $x \to 0$ :

N(0) = 0^2 + 0 - a \ln (0 + 1) = 0 - a \ln(1) = 0 - a \cdot 0 = 0

D(0) = 0 \cdot \ln (0 + 1) = 0 \cdot \ln(1) = 0 \cdot 0 = 0

El límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que podemos aplicar la regla de L'Hôpital.Calculamos las primeras derivadas de $N(x)$ y $D(x)$ :

N'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x - a \ln (x + 1)) = 2x + 1 - \frac{a}{x + 1}

D'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln (x + 1)) = 1 \cdot \ln (x + 1) + x \cdot \frac{1}{x + 1} = \ln (x + 1) + \frac{x}{x + 1}

Ahora evaluamos estas derivadas cuando $x \to 0$ :

N'(0) = 2(0) + 1 - \frac{a}{0 + 1} = 1 - a

D'(0) = \ln (0 + 1) + \frac{0}{0 + 1} = \ln(1) + 0 = 0

Para que el límite sea finito, si $D'(0) = 0$ , entonces $N'(0)$ también debe ser $0$ . Por lo tanto, igualamos $N'(0)$ a $0$ para encontrar $a$ :

1 - a = 0 \implies a = 1

Así, el valor de $a$ es $1$ . Sustituimos este valor y aplicamos la regla de L'Hôpital una segunda vez, ya que el límite sigue siendo de la forma $\frac{0}{0}$ ( $N'(0)=0$ y $D'(0)=0$ para $a=1$ ).Calculamos las segundas derivadas (con $a=1$ ):

N''(x) = \frac{d}{dx}\left(2x + 1 - \frac{1}{x + 1}\right) = 2 - \left(-\frac{1}{(x + 1)^2}\right) = 2 + \frac{1}{(x + 1)^2}

D''(x) = \frac{d}{dx}\left(\ln (x + 1) + \frac{x}{x + 1}\right) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2}

Ahora evaluamos estas segundas derivadas cuando $x \to 0$ :

N''(0) = 2 + \frac{1}{(0 + 1)^2} = 2 + 1 = 3

D''(0) = \frac{1}{0 + 1} + \frac{1}{(0 + 1)^2} = 1 + 1 = 2

El valor del límite es el cociente de las segundas derivadas:

L = \frac{N''(0)}{D''(0)} = \frac{3}{2}

Por lo tanto, $a=1$ y el valor del límite es $\frac{3}{2}$ .