T5: Integrales · Integración de funciones racionales — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Integración de funciones racionales

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x}$ para $x \neq 0, x \neq 1$ . Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3 \ln 2)$ , donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

PrimitivaFunciones racionalesIntegrales

Primero, realizaremos la división polinómica para simplificar la función $f(x)$ .

\frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x} = -x - 1 + \frac{x - 3}{x^2 - x}

Ahora, descomponemos la fracción restante en fracciones parciales. El denominador es $x^2 - x = x(x - 1)$ .

\frac{x - 3}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}

Multiplicando ambos lados por $x(x - 1)$ , obtenemos:

x - 3 = A(x - 1) + Bx

Para hallar $A$ y $B$ :

x = 0

0 - 3 = A(0 - 1) + B(0) \Rightarrow -3 = -A \Rightarrow A = 3

.Si

x = 1

1 - 3 = A(1 - 1) + B(1) \Rightarrow -2 = B

Por lo tanto, la función $f(x)$ se puede escribir como:

f(x) = -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x - 1}

Ahora, integramos la función para encontrar su primitiva $F(x)$ :

F(x) = \int \left( -x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x - 1} \right) dx

F(x) = -\frac{x^2}{2} - x + 3 \ln|x| - 2 \ln|x - 1| + C

Para determinar la constante de integración $C$ , usamos la condición de que la gráfica de $F(x)$ pasa por el punto $(2, 3 \ln 2)$ . Sustituimos $x = 2$ y $F(x) = 3 \ln 2$ :

3 \ln 2 = -\frac{2^2}{2} - 2 + 3 \ln|2| - 2 \ln|2 - 1| + C

3 \ln 2 = -\frac{4}{2} - 2 + 3 \ln 2 - 2 \ln|1| + C

3 \ln 2 = -2 - 2 + 3 \ln 2 - 2 \cdot 0 + C

3 \ln 2 = -4 + 3 \ln 2 + C

Restando $3 \ln 2$ de ambos lados, obtenemos:

0 = -4 + C

C = 4

Por lo tanto, la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3 \ln 2)$ es:

F(x) = -\frac{x^2}{2} - x + 3 \ln|x| - 2 \ln|x - 1| + 4