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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas homogéneos
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
5
Examen

Considera el sistema de ecuaciones lineales:

(α11α−11α0α)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a) Discute el sistema según los valores de α\alpha.b) Para α=1\alpha = 1 resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.
Discusión de sistemasParámetrosMatriz
a) Discute el sistema según los valores de α\alpha.

El sistema es homogéneo, por lo que siempre es compatible. Debemos determinar si es compatible determinado (solución trivial única) o compatible indeterminado (infinitas soluciones, incluyendo la trivial).Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes AA:

A=(α11α−11α0α)A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix}
det⁡(A)=α∣−110α∣−1∣α1αα∣+1∣α−1α0∣\det(A) = \alpha \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & \alpha \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} \alpha & 1 \\ \alpha & \alpha \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \alpha & -1 \\ \alpha & 0 \end{vmatrix}
\det(A) = \alpha(-\alpha - 0) - (\alpha^2 - \alpha) + (0 - (-\alpha))
det⁡(A)=−α2−α2+α+α\det(A) = -\alpha^2 - \alpha^2 + \alpha + \alpha
det⁡(A)=−2α2+2α=−2α(α−1)\det(A) = -2\alpha^2 + 2\alpha = -2\alpha(\alpha - 1)

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de α\alpha:

−2α(α−1)=0  ⟹  α=0oα=1-2\alpha(\alpha - 1) = 0 \implies \alpha = 0 \quad \text{o} \quad \alpha = 1

Analizamos los siguientes casos:

Caso 1: $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 1$

En este caso, det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es rank(A)=3\text{rank}(A) = 3, que coincide con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado, y su única solución es la solución trivial: (x,y,z)=(0,0,0)(x,y,z) = (0,0,0).

Caso 2: $\alpha = 0$

La matriz de coeficientes se convierte en:

A=(0110−11000)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Para calcular el rango, observamos que la tercera fila es nula. Consideramos el menor de orden 2 formado por las dos primeras filas y las columnas segunda y tercera:

∣11−11∣=1−(−1)=2≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz es rank(A)=2\text{rank}(A) = 2. Dado que rank(A)=2<3\text{rank}(A) = 2 < 3 (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Caso 3: $\alpha = 1$

La matriz de coeficientes se convierte en:

A=(1111−11101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Como ya sabemos que det⁡(A)=0\det(A) = 0, el rango es menor que 3. Consideramos el menor de orden 2 formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas:

∣111−1∣=1(−1)−1(1)=−1−1=−2≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1) - 1(1) = -1 - 1 = -2 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz es rank(A)=2\text{rank}(A) = 2. Dado que rank(A)=2<3\text{rank}(A) = 2 < 3 (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

b) Para α=1\alpha = 1 resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

Para α=1\alpha = 1, el sistema de ecuaciones es:

{x+y+z=0(1)x−y+z=0(2)x+z=0(3)\begin{cases} x + y + z = 0 \quad (1) \\ x - y + z = 0 \quad (2) \\ x + z = 0 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (3) obtenemos:

x=−zx = -z

Sustituimos x=−zx = -z en la ecuación (1):

(−z)+y+z=0  ⟹  y=0(-z) + y + z = 0 \implies y = 0

Verificamos con la ecuación (2):

(−z)−(0)+z=0  ⟹  0=0(-z) - (0) + z = 0 \implies 0 = 0

Las soluciones son de la forma (x,y,z)=(λ,0,−λ)(x, y, z) = (\lambda, 0, -\lambda), donde λ∈R\lambda \in \mathbb{R} es un parámetro. Este sistema es compatible indeterminado, por lo que existen infinitas soluciones, incluyendo soluciones no triviales.Para obtener una solución diferente de la trivial, elegimos un valor para λ\lambda, por ejemplo, λ=1\lambda = 1:

x=1,y=0,z=−1x = 1, \quad y = 0, \quad z = -1

Una solución no trivial es (1,0,−1)(1, 0, -1).