T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de sistemas con restricciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 1.

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Sistemas de ecuacionesNúmeros naturales

Llamamos $x$ , $y$ , $z$ a los tres números naturales. Las condiciones del enunciado dan lugar al siguiente sistema:

\begin{cases} x + y + z = 22 \\ 4x + 3y + 2z = 61 \end{cases}

Este sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas, por lo que tendrá infinitas soluciones (es un sistema compatible indeterminado). Reducimos el sistema para expresar dos variables en función de la tercera.Multiplicamos la primera ecuación por $-2$ y sumamos con la segunda:

\begin{cases} -2x - 2y - 2z = -44 \\ 4x + 3y + 2z = 61 \end{cases} \Rightarrow 2x + y = 17

Despejamos $y$ en función de $x$ :

y = 17 - 2x

Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos $z$ :

x + (17 - 2x) + z = 22 \Rightarrow z = 22 - 17 + x = 5 + x

Por tanto, la solución general del sistema (con $x = \lambda$ , parámetro natural) es:

x = \lambda, \quad y = 17 - 2\lambda, \quad z = 5 + \lambda

Para que los tres números sean naturales (enteros no negativos, es decir, $\geq 0$ ), se deben cumplir:

\lambda \geq 0, \quad 17 - 2\lambda \geq 0 \Rightarrow \lambda \leq 8, \quad 5 + \lambda \geq 0 \text{ (siempre cumplida)}

Luego $\lambda \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ , lo que da lugar a 9 soluciones posibles.

¿Puede ser 15 uno de los tres números?

Comprobamos si $15$ puede ser el valor de $x$ , $y$ o $z$ :

a) Si

x = 15

: entonces

\lambda = 15

, pero

\lambda \leq 8

, luego no es posible.b) Si

y = 15

: entonces

17 - 2\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 1

, que cumple

0 \leq 1 \leq 8

. Obtenemos

x = 1

y = 15

z = 6

. Sí es posible.c) Si

z = 15

: entonces

5 + \lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 10

, pero

\lambda \leq 8

, luego no es posible.

Por tanto, sí puede ser $15$ uno de los tres números. La única solución donde aparece $15$ es:

x = 1, \quad y = 15, \quad z = 6

Verificación: $1 + 15 + 6 = 22$ ✓ y $4(1) + 3(15) + 2(6) = 4 + 45 + 12 = 61$ ✓

¿Existen otras opciones?

Sí. Hay 9 soluciones en total (para $\lambda = 0, 1, \ldots, 8$ ). Las demás soluciones (distintas a la que incluye el 15) son:

\begin{array}{c|c|c|c} \lambda & x & y & z \\ \hline 0 & 0 & 17 & 5 \\ 1 & 1 & 15 & 6 \\ 2 & 2 & 13 & 7 \\ 3 & 3 & 11 & 8 \\ 4 & 4 & 9 & 9 \\ 5 & 5 & 7 & 10 \\ 6 & 6 & 5 & 11 \\ 7 & 7 & 3 & 12 \\ 8 & 8 & 1 & 13 \end{array}

En conclusión, existen 9 opciones posibles para los tres números naturales. El valor $15$ aparece únicamente en la solución $(1, 15, 6)$ .