Puesto que $F(x) = e^{x^2}$ es una primitiva de $f(x)$, por definición se cumple que $f(x) = F'(x)$. Calculamos la derivada de $F(x)$ utilizando la regla de la cadena:

Para comprobar que $f$ es creciente, calculamos su derivada $f'(x)$ y estudiamos su signo:

Analizando la expresión resultante, observamos que para cualquier $x \in \mathbb{R}$:1. La función exponencial $e^{x^2}$ es siempre estrictamente positiva: $e^{x^2} > 0$. 2. El término $(1 + 2x^2)$ es siempre mayor o igual a 1, por lo tanto, es positivo: $1 + 2x^2 > 0$.Dado que el producto de factores positivos es positivo, tenemos que $f'(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Por consiguiente, la función $f$ es estrictamente creciente en todo su dominio.

El recinto está limitado por la función $f(x) = 2x e^{x^2}$, el eje de abscisas ($y = 0$) y la recta vertical $x = 1$. Para determinar los límites de integración, buscamos los puntos de corte de $f(x)$ con el eje $OX$:

El intervalo de integración es $[0, 1]$. En este intervalo, $x \ge 0$ y $e^{x^2} > 0$, por lo que $f(x) \ge 0$. El área $A$ se calcula mediante la integral definida:

Haciendo uso de que $F(x) = e^{x^2}$ es la primitiva de $f(x)$, aplicamos la Regla de Barrow:

Por lo tanto, el área del recinto es $e - 1 \text{ unidades de superficie} \approx 1,718 \text{ u}^2$.