T6: Física nuclear · Desintegración radiactiva — FISICA PEvAU Andaluc%C3%ADa 2017

Desintegración radiactiva

Problema

2017 · Extraordinaria · Titular

4B-b

b) El

^{14}_{6}\text{C}

se desintegra en

^{14}_{7}\text{N}

y emite una partícula beta, con un periodo de semidesintegración de

5736 \text{ años}

. Escriba la ecuación del proceso de desintegración y calcule la edad de unos tejidos encontrados en una tumba cuya actividad debida al

^{14}_{6}\text{C}

es del

40\%

de la que presentan los tejidos similares actuales.

Datación por C-14Periodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

b) Ecuación de desintegración y cálculo de la edad de los tejidos.

Ecuación de desintegración beta

En la desintegración beta negativa ( $\beta^-$ ), el núcleo emite un electrón ( $^0_{-1}e$ ) y un antineutrino. La ecuación debe conservar el número másico y el número atómico:

^{14}_{6}\text{C} \rightarrow \, ^{14}_{7}\text{N} + \, ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e

Comprobación: número másico $14 = 14 + 0$ ✓ y número atómico $6 = 7 + (-1)$ ✓

Cálculo de la edad de los tejidos

La ley de desintegración radiactiva establece que la actividad $A$ en un instante $t$ se relaciona con la actividad inicial $A_0$ mediante:

A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Donde la constante de desintegración $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ mediante:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{5736 \text{ años}} = 1{,}209 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}

Nos dicen que la actividad actual de los tejidos de la tumba es el $40\%$ de la de tejidos similares actuales, es decir:

\frac{A(t)}{A_0} = 0{,}40

Despejando el tiempo $t$ de la ley de desintegración:

0{,}40 = e^{-\lambda t} \implies \ln(0{,}40) = -\lambda t \implies t = \frac{-\ln(0{,}40)}{\lambda}

t = \frac{-\ln(0{,}40)}{1{,}209 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}} = \frac{0{,}9163}{1{,}209 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}}

t \approx 7578 \text{ años}

Los tejidos encontrados en la tumba tienen una antigüedad de aproximadamente $7578$ años.