T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo gravitatorio

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

1-b

b) Dos masas de

2 \text{ kg}

5 \text{ kg}

se encuentran situadas en los puntos

(0,3) \text{ m}

(4,0) \text{ m}

, respectivamente. Calcule: i) El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas. ii) El trabajo necesario para desplazar una masa de

10 \text{ kg}

desde el origen de coordenadas al punto

(4,3) \text{ m}

y comente el resultado obtenido.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Potencial gravitatorioTrabajo

b) i) El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

El potencial gravitatorio $V$ creado por una masa puntual $m$ a una distancia $r$ es $V = -G \frac{m}{r}$ . En un punto, el potencial total es la suma algebraica de los potenciales creados por cada masa.Las masas se encuentran en: $m_1 = 2 \text{ kg}$ en $P_1 = (0,3) \text{ m}$ y $m_2 = 5 \text{ kg}$ en $P_2 = (4,0) \text{ m}$ . El origen de coordenadas es $O = (0,0) \text{ m}$ .Distancias de las masas al origen:

r_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}

r_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \text{ m}

La fórmula general para el potencial total en el origen es:

V_O = V_1 + V_2 = -G \left( \frac{m_1}{r_1} + \frac{m_2}{r_2} \right)

Sustituyendo los valores:

V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \left( \frac{2 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{5 \text{ kg}}{4 \text{ m}} \right)

V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{8}{12} + \frac{15}{12} \right) \text{ J/kg}

V_O = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{23}{12} \right) \text{ J/kg}

V_O \approx -1,278 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

ii) El trabajo necesario para desplazar una masa de

10 \text{ kg}

desde el origen de coordenadas al punto

(4,3) \text{ m}

y comente el resultado obtenido.

El trabajo realizado por un agente externo para desplazar una masa $m_3$ desde un punto $O$ a un punto $A$ es $W_{ext} = m_3 (V_A - V_O)$ . Necesitamos calcular el potencial gravitatorio en el punto $A = (4,3) \text{ m}$ .Distancias de las masas al punto $A=(4,3) \text{ m}$ :

r_{1A} = \sqrt{(4-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \text{ m}

r_{2A} = \sqrt{(4-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}

La fórmula para el potencial total en el punto $A$ es:

V_A = -G \left( \frac{m_1}{r_{1A}} + \frac{m_2}{r_{2A}} \right)

Sustituyendo los valores:

V_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \left( \frac{2 \text{ kg}}{4 \text{ m}} + \frac{5 \text{ kg}}{3 \text{ m}} \right)

V_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{3} \right) \text{ J/kg}

V_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{3}{6} + \frac{10}{6} \right) \text{ J/kg}

V_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{13}{6} \right) \text{ J/kg}

V_A \approx -1,445 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

Ahora calculamos el trabajo necesario para desplazar la masa $m_3 = 10 \text{ kg}$ :

W_{ext} = m_3 (V_A - V_O)

W_{ext} = 10 \text{ kg} \left( (-1,444666 \cdot 10^{-10}) - (-1,278333 \cdot 10^{-10}) \right) \text{ J/kg}

W_{ext} = 10 \text{ kg} \left( -0,166333 \cdot 10^{-10} \right) \text{ J/kg}

W_{ext} \approx -1,663 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Comentario del resultado:El trabajo realizado por el agente externo es negativo. Esto significa que la fuerza gravitatoria realiza trabajo positivo al desplazar la masa desde el origen al punto $A$ . La masa se mueve de una posición de mayor energía potencial gravitatoria a una de menor energía potencial gravitatoria (ya que $V_A < V_O$ , es decir, el potencial en $A$ es más negativo que en $O$ ). El sistema libera energía durante este desplazamiento. Si no se aplicara una fuerza externa para frenarla, la masa se movería espontáneamente y aceleraría.