T5: Integrales · Áreas entre curvas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2020

Áreas entre curvas

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

Considera las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x|$ y $g(x) = x^2 - 2$ .

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboza el recinto que determinan.b) Determina el área del recinto anterior.

Valor absolutoParábolaRecinto

a) Calculamos los puntos de corte de las funciones

f(x) = |x|

g(x) = x^2 - 2

igualándolas. La función

f(x)

se define a trozos:

f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Consideramos los dos casos:\textbf{Caso 1:} Si $x \ge 0$ , entonces $f(x) = x$ . Igualamos $f(x)$ y $g(x)$ :

x = x^2 - 2

x^2 - x - 2 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

x = \frac{1 \pm 3}{2}

Obtenemos dos soluciones: $x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ y $x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$ . Como estamos en el caso $x \ge 0$ , descartamos $x_2 = -1$ . Para $x=2$ , $f(2) = |2| = 2$ y $g(2) = 2^2 - 2 = 2$ . Por lo tanto, un punto de corte es $(2, 2)$ .\textbf{Caso 2:} Si $x < 0$ , entonces $f(x) = -x$ . Igualamos $f(x)$ y $g(x)$ :

-x = x^2 - 2

x^2 + x - 2 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

x = \frac{-1 \pm 3}{2}

Obtenemos dos soluciones: $x_3 = \frac{-1+3}{2} = 1$ y $x_4 = \frac{-1-3}{2} = -2$ . Como estamos en el caso $x < 0$ , descartamos $x_3 = 1$ . Para $x=-2$ , $f(-2) = |-2| = 2$ y $g(-2) = (-2)^2 - 2 = 2$ . Por lo tanto, el otro punto de corte es $(-2, 2)$ .Los puntos de corte de las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ son $(-2, 2)$ y $(2, 2)$ .Esbozo del recinto:La función $f(x) = |x|$ es una gráfica en forma de "V" con su vértice en $(0,0)$ . La función $g(x) = x^2 - 2$ es una parábola que se abre hacia arriba con su vértice en $(0,-2)$ . El recinto que determinan está limitado superiormente por $f(x)$ e inferiormente por $g(x)$ .

b) Para determinar el área del recinto, observamos que ambas funciones son simétricas respecto al eje

y

. Por lo tanto, podemos calcular el área para

x \ge 0

(es decir, desde

x=0

hasta

x=2

) y luego multiplicar el resultado por

2

. En el intervalo

[0, 2]

, la función

f(x)

f(x) = x

El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia entre la función superior ( $f(x)$ ) y la función inferior ( $g(x)$ ) en el intervalo de los puntos de corte. Debido a la simetría, se puede escribir como:

A = 2 \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \text{ } dx

A = 2 \int_{0}^{2} (x - (x^2 - 2)) \text{ } dx

A = 2 \int_{0}^{2} (x - x^2 + 2) \text{ } dx

Ahora calculamos la integral indefinida:

\int (x - x^2 + 2) \text{ } dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x + C

Evaluamos la integral definida entre los límites $0$ y $2$ :

\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{0}^{2}

= \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} + 2(0) \right)

= \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) - (0)

= \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right)

= \left( 6 - \frac{8}{3} \right)

= \left( \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \right)

= \frac{10}{3}

Finalmente, multiplicamos este resultado por $2$ para obtener el área total del recinto:

A = 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3}

El área del recinto es $\frac{20}{3}$ unidades cuadradas.