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T5: Integrales
Integración por partes
Cálculo
2020 · Extraordinaria · Titular
2
Examen

Calcula

∫0πxsen⁡2(x)dx\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}^2(x) dx
Integral definidaTrigonometría
Cálculo de la integral $\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}^2(x) dx$

Para resolver la integral, primero utilizaremos la identidad trigonométrica para sen⁡2(x)\operatorname{sen}^2(x):

sen⁡2(x)=1−cos⁡(2x)2\operatorname{sen}^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

Sustituimos esta identidad en la integral original:

∫0πx(1−cos⁡(2x)2)dx=∫0π(x2−xcos⁡(2x)2)dx\int_{0}^{\pi} x \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right) dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{x}{2} - \frac{x \cos(2x)}{2} \right) dx

Ahora, podemos dividir la integral en dos partes:

I=12∫0πxdx−12∫0πxcos⁡(2x)dxI = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \cos(2x) dx

Calculamos la primera parte de la integral:

12∫0πxdx=12[x22]0π=12(π22−022)=12⋅π22=π24\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^2}{4}

Ahora, calculamos la segunda parte, 12∫0πxcos⁡(2x)dx\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \cos(2x) dx, utilizando el método de integración por partes. Sea J=∫xcos⁡(2x)dxJ = \int x \cos(2x) dx. Usamos la fórmula ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du:

{u=x  ⟹  du=dxdv=cos⁡(2x)dx  ⟹  v=∫cos⁡(2x)dx=sen⁡(2x)2\begin{cases} u = x & \implies du = dx \\ dv = \cos(2x) dx & \implies v = \int \cos(2x) dx = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} \end{cases}

Aplicando la fórmula de integración por partes:

J=xsen⁡(2x)2−∫sen⁡(2x)2dxJ = x \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} - \int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} dx

Resolvemos la integral restante:

J=xsen⁡(2x)2−12(−cos⁡(2x)2)=xsen⁡(2x)2+cos⁡(2x)4J = x \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} - \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) = x \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4}

Ahora evaluamos la parte definida de la segunda integral:

12[xsen⁡(2x)2+cos⁡(2x)4]0π\frac{1}{2} \left[ x \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} \right]_{0}^{\pi}

Sustituimos los límites de integración:

12[(πsen⁡(2π)2+cos⁡(2π)4)−(0sen⁡(0)2+cos⁡(0)4)]\frac{1}{2} \left[ \left( \pi \frac{\operatorname{sen}(2\pi)}{2} + \frac{\cos(2\pi)}{4} \right) - \left( 0 \frac{\operatorname{sen}(0)}{2} + \frac{\cos(0)}{4} \right) \right]

Sabemos que sen⁡(2π)=0\operatorname{sen}(2\pi) = 0, cos⁡(2π)=1\cos(2\pi) = 1, sen⁡(0)=0\operatorname{sen}(0) = 0 y cos⁡(0)=1\cos(0) = 1. Sustituyendo estos valores:

12[(π⋅0+14)−(0⋅0+14)]=12[14−14]=12⋅0=0\frac{1}{2} \left[ \left( \pi \cdot 0 + \frac{1}{4} \right) - \left( 0 \cdot 0 + \frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right] = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

Finalmente, combinamos los resultados de ambas partes de la integral:

I=π24−0=π24I = \frac{\pi^2}{4} - 0 = \frac{\pi^2}{4}