T5: Integrales · Cálculo de áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%C3%ADa 2025

Cálculo de áreas

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Sea la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)^2$ .

a) Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = a

con

a > 0

.b) Calcula

a > 0

para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = a

sea

\frac{4}{3}

unidades cuadradas.

Área bajo la curvaRecinto acotado

a) Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = a

con

a > 0

La función $f(x) = (x - 1)^2$ es una parábola con vértice en el punto $(1, 0)$ y ramas hacia arriba. La recta $y = a$ es una recta horizontal situada por encima del eje $X$ puesto que $a > 0$ . Para encontrar los puntos de corte entre la parábola y la recta, igualamos ambas expresiones:

(x - 1)^2 = a \implies x - 1 = \pm\sqrt{a} \implies x = 1 \pm \sqrt{a}

Los puntos de intersección son $x_1 = 1 - \sqrt{a}$ y $x_2 = 1 + \sqrt{a}$ . El recinto es el área comprendida entre la parábola (límite inferior) y la recta (límite superior) en el intervalo $[1 - \sqrt{a}, 1 + \sqrt{a}]$ .

b) Calcula

a > 0

para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = a

sea

\frac{4}{3}

unidades cuadradas.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia entre la función superior ( $y = a$ ) y la función inferior ( $y = (x - 1)^2$ ) entre los puntos de corte hallados:

A = \int_{1 - \sqrt{a}}^{1 + \sqrt{a}} [a - (x - 1)^2] \, dx

Aplicando el cambio de variable $u = x - 1$ , con $du = dx$ , y ajustando los límites de integración, obtenemos una integral más sencilla aprovechando la simetría de la función centrada en $x = 1$ :

A = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a - u^2) \, du = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - u^2) \, du

Calculamos la primitiva y evaluamos mediante la Regla de Barrow:

A = 2 \left[ au - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{a}} = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3} \right) = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}

Igualamos el área obtenida al valor dado en el enunciado, que es $\frac{4}{3}$ :

\frac{4a\sqrt{a}}{3} = \frac{4}{3} \implies a\sqrt{a} = 1 \implies a^{3/2} = 1 \implies a = 1

Dado que $1 > 0$ , el valor buscado para el parámetro es $a = 1$ .